题目

3.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则[ ] (A.) P(X+Y≤0)=1/2 (B.) P(X+Y≤1)=1/2 (C.) P(X-Y≤0)=1/2 (D.) P(X-Y≤1)=1/2

3.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则[ ] (
A.) P{X+Y≤0}=1/2 (
B.) P{X+Y≤1}=1/2 (
C.) P{X-Y≤0}=1/2 (
D.) P{X-Y≤1}=1/2

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用正态分布的性质和两个独立正态随机变量的和与差的分布。已知： - $X \sim N(0, 1)$ - $Y \sim N(1, 1)$ ### 第一步：确定 $X + Y$ 的分布两个独立的正态随机变量的和也是一个正态随机变量。$X + Y$ 的均值和方差为： - 均值：$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 0 + 1 = 1$ - 方差：$\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 1 + 1 = 2$ 因此，$X + Y \sim N(1, 2)$。 ### 第二步：确定 $X - Y$ 的分布两个独立的正态随机变量的差也是一个正态随机变量。$X - Y$ 的均值和方差为： - 均值：$\mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y = 0 - 1 = -1$ - 方差：$\sigma_{X-Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 1 + 1 = 2$ 因此，$X - Y \sim N(-1, 2)$。 ### 第三步：计算概率 #### (A) $P\{X + Y \leq 0\}$ $X + Y \sim N(1, 2)$。我们需要找到 $P\{X + Y \leq 0\}$。将 $X + Y$ 标准化： \[Z = \frac{X + Y - 1}{\sqrt{2}} \sim N(0, 1)\] 因此， \[P\{X + Y \leq 0\} = P\left\{Z \leq \frac{0 - 1}{\sqrt{2}}\right\} = P\left\{Z \leq -\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\] 由于 $-\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$，这个概率不等于 $\frac{1}{2}$。 #### (B) $P\{X + Y \leq 1\}$ $X + Y \sim N(1, 2)$。我们需要找到 $P\{X + Y \leq 1\}$。将 $X + Y$ 标准化： \[Z = \frac{X + Y - 1}{\sqrt{2}} \sim N(0, 1)\] 因此， \[P\{X + Y \leq 1\} = P\left\{Z \leq \frac{1 - 1}{\sqrt{2}}\right\} = P\left\{Z \leq 0\right\} = \frac{1}{2}\] #### (C) $P\{X - Y \leq 0\}$ $X - Y \sim N(-1, 2)$。我们需要找到 $P\{X - Y \leq 0\}$。将 $X - Y$ 标准化： \[Z = \frac{X - Y + 1}{\sqrt{2}} \sim N(0, 1)\] 因此， \[P\{X - Y \leq 0\} = P\left\{Z \leq \frac{0 + 1}{\sqrt{2}}\right\} = P\left\{Z \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\] 由于 $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$，这个概率不等于 $\frac{1}{2}$。 #### (D) $P\{X - Y \leq 1\}$ $X - Y \sim N(-1, 2)$。我们需要找到 $P\{X - Y \leq 1\}$。将 $X - Y$ 标准化： \[Z = \frac{X - Y + 1}{\sqrt{2}} \sim N(0, 1)\] 因此， \[P\{X - Y \leq 1\} = P\left\{Z \leq \frac{1 + 1}{\sqrt{2}}\right\} = P\left\{Z \leq \sqrt{2}\right\}\] 由于 $\sqrt{2} \approx 1.414$，这个概率不等于 $\frac{1}{2}$。 ### 结论正确答案是 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查两个独立正态分布随机变量的和与差的分布性质，以及如何计算特定概率值。

解题核心思路：

确定和与差的分布：利用独立正态变量的和与差仍服从正态分布的性质，计算均值和方差。
标准化求概率：将目标概率转化为标准正态分布的概率，通过查表或计算判断是否等于$\frac{1}{2}$。

破题关键点：

独立正态变量的线性组合：若$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$，$Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$且独立，则$X+Y \sim N(\mu_X+\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$，$X-Y \sim N(\mu_X-\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$。
对称性判断：若随机变量$Z \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$P(Z \leq \mu) = \frac{1}{2}$。若题目中的不等式恰好对应均值$\mu$，则概率为$\frac{1}{2}$。

第一步：确定$X+Y$和$X-Y$的分布

$X+Y$的分布：
均值$\mu_{X+Y} = 0 + 1 = 1$，方差$\sigma_{X+Y}^2 = 1 + 1 = 2$，即$X+Y \sim N(1, 2)$。
$X-Y$的分布：
均值$\mu_{X-Y} = 0 - 1 = -1$，方差$\sigma_{X-Y}^2 = 1 + 1 = 2$，即$X-Y \sim N(-1, 2)$。

第二步：逐项分析概率

(A) $P\{X+Y \leq 0\}$

标准化得：
$Z = \frac{X+Y - 1}{\sqrt{2}} \sim N(0,1), \quad P\left(Z \leq \frac{0-1}{\sqrt{2}}\right) = P\left(Z \leq -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.242 \neq \frac{1}{2}.$
结论：错误。

(B) $P\{X+Y \leq 1\}$

标准化得：
$Z = \frac{X+Y - 1}{\sqrt{2}}, \quad P\left(Z \leq \frac{1-1}{\sqrt{2}}\right) = P(Z \leq 0) = \frac{1}{2}.$
结论：正确。

标准化得：
$Z = \frac{X-Y + 1}{\sqrt{2}}, \quad P\left(Z \leq \frac{0+1}{\sqrt{2}}\right) = P\left(Z \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.76 \neq \frac{1}{2}.$
结论：错误。

(D) $P\{X-Y \leq 1\}$

标准化得：
$Z = \frac{X-Y + 1}{\sqrt{2}}, \quad P\left(Z \leq \frac{1+1}{\sqrt{2}}\right) = P\left(Z \leq \sqrt{2}\right) \approx 0.92 \neq \frac{1}{2}.$
结论：错误。