有外包装完全相同的产品15箱，其中一等品8箱，二等品5箱，三等品2箱。运输过程中不慎丢失一箱该产品，现从剩余产品中任取两箱，求（1）取到都是一等品的概率；（2）若取到两箱都是一等品，丢失的也是一等品的概率。

我们来逐步分析并解答这个概率问题。

题目回顾：

有外包装完全相同的产品共 15 箱：

• 一等品：8 箱
• 二等品：5 箱
• 三等品：2 箱

运输过程中不慎丢失一箱（丢失哪一箱是随机的，但不知道丢失的是哪一类），然后从剩下的 14 箱中任取两箱。

求：

（1）取到的两箱都是一等品的概率；
（2）已知取到的两箱都是一等品，求丢失的那一箱也是一等品的概率。

这是一个典型的全概率公式和贝叶斯公式的应用题。

我们记：

• $ A $：丢失的是一等品
• $ B $：丢失的是二等品
• $ C $：丢失的是三等品

由于丢失一箱是随机的（等可能从15箱中丢掉任意一箱），所以丢失各类的概率为：

• $ P(A) = \frac{8}{15} $
• $ P(B) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $
• $ P(C) = \frac{2}{15} $

记事件 $ D $：从剩下的14箱中任取两箱，都是一等品。

我们要先求（1）$ P(D) $，即取到两箱都是一等品的总概率；
再求（2）$ P(A \mid D) $，即在已知取到两箱都是一等品的条件下，丢失的是一等品的概率。

第（1）问：求 $ P(D) $

使用全概率公式，根据丢失的是哪一类，分三种情况讨论：

情况1：丢失的是一等品（事件 A）

• 剩下一等品：$ 8 - 1 = 7 $ 箱
• 二等品：5 箱
• 三等品：2 箱
• 总共剩下：14 箱

从14箱中任取2箱，都是一等品的概率为：

$P(D \mid A) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{14}{2}} = \frac{21}{91}$

（因为 $ \binom{7}{2} = 21 $，$ \binom{14}{2} = 91 $）

情况2：丢失的是二等品（事件 B）

• 一等品仍为 8 箱
• 二等品：$ 5 - 1 = 4 $ 箱
• 三等品：2 箱

$P(D \mid B) = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{14}{2}} = \frac{28}{91}$

（$ \binom{8}{2} = 28 $）

情况3：丢失的是三等品（事件 C）

• 一等品：8 箱
• 二等品：5 箱
• 三等品：$ 2 - 1 = 1 $ 箱

$P(D \mid C) = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{14}{2}} = \frac{28}{91}$

（和情况2一样，因为一等品没少）

现在用全概率公式：

$P(D) = P(A)P(D \mid A) + P(B)P(D \mid B) + P(C)P(D \mid C)$

代入数值：

$P(D) = \frac{8}{15} \cdot \frac{21}{91} + \frac{5}{15} \cdot \frac{28}{91} + \frac{2}{15} \cdot \frac{28}{91}$

先提取公因式 $ \frac{1}{15 \times 91} $：

$P(D) = \frac{1}{15 \times 91} \left( 8 \cdot 21 + 5 \cdot 28 + 2 \cdot 28 \right)$

计算括号内：

• $ 8 \cdot 21 = 168 $
• $ 5 \cdot 28 = 140 $
• $ 2 \cdot 28 = 56 $
• 总和：$ 168 + 140 + 56 = 364 $

所以：

$P(D) = \frac{364}{15 \times 91}$

注意：$ 91 = 13 \times 7 $，$ 364 = 4 \times 91 $，因为 $ 91 \times 4 = 364 $

所以：

$P(D) = \frac{4 \times 91}{15 \times 91} = \frac{4}{15}$

✅ 第（1）问答案：
$\boxed{\frac{4}{15}}$

第（2）问：已知取到两箱都是一等品，求丢失的也是一等品的概率

即求条件概率：

$P(A \mid D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A) P(D \mid A)}{P(D)}$

我们已经有：

• $ P(A) = \frac{8}{15} $
• $ P(D \mid A) = \frac{21}{91} $
• $ P(D) = \frac{4}{15} $

所以：

$P(A \mid D) = \frac{ \frac{8}{15} \cdot \frac{21}{91} }{ \frac{4}{15} } = \frac{8 \cdot 21}{15 \cdot 91} \cdot \frac{15}{4} = \frac{8 \cdot 21}{91} \cdot \frac{1}{4}$

化简：

$= \frac{168}{91} \cdot \frac{1}{4} = \frac{168}{364}$

约分：分子分母同除以 28：

• $ 168 \div 28 = 6 $
• $ 364 \div 28 = 13 $

（验证：$ 28 \times 13 = 364 $，$ 28 \times 6 = 168 $，正确）

所以：

$P(A \mid D) = \frac{6}{13}$

✅ 第（2）问答案：
$\boxed{\frac{6}{13}}$

最终答案：

（1）取到两箱都是一等品的概率为：$\boxed{\dfrac{4}{15}}$
（2）若取到两箱都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为：$\boxed{\dfrac{6}{13}}$