题目
二.填空题6.设x_(1),x_(2),...,x_(n)是来自U(-1,1)的样本，则E(overline(X))=____，Var(overline(X))=____。
二.填空题
6.设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是来自U(-1,1)的样本，则$E(\overline{X})=$____，$Var(\overline{X})=$____。
题目解答
答案
1. **计算期望值 $E(X)$**：
均匀分布 $U(-1, 1)$ 的期望值为
\[
E(X) = \frac{-1 + 1}{2} = 0
\]
2. **计算方差 $Var(X)$**：
均匀分布 $U(-1, 1)$ 的方差为
\[
Var(X) = \frac{(1 - (-1))^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
\]
3. **样本均值的期望值 $E(\overline{X})$**：
由期望的线性性质，
\[
E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = 0
\]
4. **样本均值的方差 $Var(\overline{X})$**：
由方差性质，
\[
Var(\overline{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{1}{3n}
\]
**答案**：
\[
\boxed{0 \text{ 和 } \frac{1}{3n}}
\]
解析
本题考查均匀分布的期望与方差公式，以及样本样本均值的期望和方差的性质。解题思路是先根据均匀分布的期望和方差公式求出总体的期望和方差，再利用样本均值的期望和方差性质计算出$E(\overline{X})$和$Var(\overline{X)$。
- 计算$E(X)$：
已知$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n$是来自$U(-1,1)$的样本，对于均匀分布$U(a,b)$，其期望公式为$E(X)=\frac{a + b}{2}$。
在本题中$a=-1$，$b = 1$，将其代入公式可得：
$E(X)=\frac{-1 + 1}{2}=0$ - 计算$计算Var(X)$：
对于均匀分布$U(a,b)$，其方差公式为$Var(X)=\frac{(b - a)^2}{12}$。
在本题中$a=-1$，$b = 1$，将其代入公式可得：
$Var(X)=\frac{(1-(-1))^2}{12}=\frac{2^2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ - 计算$E(\overline{X})$：
样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，根据期望的线性性质$E(cY)=cE(Y)$（$c$为常数）和$E(Y_1+Y_2)=E(Y_1)+E(Y_2)$，可得：
$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$
因为$E(X_i)=E(X)=0$，所以$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\times n\times0 = 0$。 - 计算$Var(\overline{X})$：
根据方差性质，若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立且具有相同的方差$Var(X)$，则样本均值$\overline{X}$的方差$Var(\overline{X})=\frac{Var(X)}{n}$。
已知$Var(X)=\frac{1}{3}$，将其代入可得：
$Var(\overline{X})=\frac{Var(X)}{n}=\frac{1}{3n}$