题目

五(6分)用机器包装小袋速溶咖啡，已知咖啡重量服从正态分布，随机地抽取100袋咖啡进行测量，算得其样本均值克，试求总体期望的置信度为0.90的置信区间。(附：)

五(6分)用机器包装小袋速溶咖啡，已知咖啡重量服从正态分布 $N(\mu,5^2)$ ，随机地抽取100袋咖啡进行测量，算得其样本均值 $\bar X=500.5$ 克，试求总体期望 $\mu$ 的置信度为0.90的置信区间。(附： $u_{0.1}=1.29,$ $u_{0.05}=1.65$ )

题目解答

答案

解：

对于正态总体X，有下面性质

$\frac{\bar{X}-\mu }{ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$

则有

$P\{|\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}| \leq \mu_{\frac \alpha 2} \}=1-\alpha$

故正态总体X期望 $\mu$ 的置信度为1-α的置信区间为

$[\bar{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$

本题中

$\bar X=500.5,\sigma=5,n=100,\alpha=0.1,\mu_{0.05}=1.65$

代入公式有

$\bar X-u_{\frac\alpha2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=500.5-1.65\times\frac{5}{\sqrt{100}}=499.675$

$\bar X+u_{\frac\alpha2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=500.5+1.65\times\frac{5}{\sqrt{100}}=501.325$

故总体期望 $\mu$ 的置信度为0.90的置信区间为[499.675,501.325].

解析

步骤 1：确定置信区间公式
对于正态总体X，有下面性质
$\dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\sim N(0,1)$
则有
$P\{ |\dfrac {X-\mu }{\sqrt {n}}|\leqslant \mu \dfrac {\alpha }{2}\} =1-\alpha $
故正态总体X期望的置信度为1-α的置信区间为
$\overline {X}-u\dfrac {\alpha }{2}\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}},\overline {X}+u\dfrac {\alpha }{2}\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}] $

步骤 2：代入已知数据
本题中
$\overline {X}=500.5$ $\sigma =5$, $n=100$, $\alpha =0.1$ $\mu 0.05=1.65$
代入公式有
$-{u}_{\dfrac {1}{2}}\dfrac {0}{\sqrt {12}}=500.5-1.65\times \dfrac {5}{\sqrt {100}}=499.675$
$\overline {x}+u\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}=500.5+1.65\times \dfrac {5}{\sqrt {100}}=501.325$

步骤 3：得出置信区间
故总体期望的置信度为0.90的置信区间为[499.675,501.325].