题目
在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即ξ～N（100，100），已知满分为150分．（1）试求考试成绩ξ位于区间（80，120]内的概率；（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不低于90分）的人数．
在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即ξ～N（100，100），已知满分为150分．
（1）试求考试成绩ξ位于区间（80，120]内的概率；
（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不低于90分）的人数．
（1）试求考试成绩ξ位于区间（80，120]内的概率；
（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不低于90分）的人数．
题目解答
答案
解：（1）∵考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（100，100），
∴正态曲线关于x=100对称，且标准差为10，
根据3σ原则知P（80＜x＜120）=P（100-2×10＜x＜100+2×10）=0.9544；
（2）P（90＜x＜110）=P（100-10＜x＜100+10）=0.683，
考试成绩X位于区间（90，110）上的概率为0.683，
则考试成绩在90分以上的概率是=0.5+$\frac{1}{2}$×0.683=0.8415，
∴估计这次考试及格（不低于90分）的人数为2000×0.8415=1683人．
∴正态曲线关于x=100对称，且标准差为10，
根据3σ原则知P（80＜x＜120）=P（100-2×10＜x＜100+2×10）=0.9544；
（2）P（90＜x＜110）=P（100-10＜x＜100+10）=0.683，
考试成绩X位于区间（90，110）上的概率为0.683，
则考试成绩在90分以上的概率是=0.5+$\frac{1}{2}$×0.683=0.8415，
∴估计这次考试及格（不低于90分）的人数为2000×0.8415=1683人．
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
已知考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（100，100），其中100是均值μ，100是方差σ^2，因此标准差σ=√100=10。
步骤 2：计算考试成绩ξ位于区间（80，120]内的概率
根据正态分布的性质，成绩ξ位于区间（80，120]内的概率可以通过标准正态分布表来计算。首先，将区间（80，120]转换为标准正态分布的区间，即（80-100）/10到（120-100）/10，即（-2，2]。根据3σ原则，P（-2＜z＜2）=0.9544，因此考试成绩ξ位于区间（80，120]内的概率为0.9544。
步骤 3：估计考试及格（不低于90分）的人数
首先，计算考试成绩ξ不低于90分的概率。将90分转换为标准正态分布的值，即（90-100）/10=-1。根据标准正态分布表，P（z＞-1）=0.8413。因此，考试成绩ξ不低于90分的概率为0.8413。最后，根据总人数2000名考生，估计考试及格的人数为2000×0.8413=1682.6，取整数为1683人。
已知考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（100，100），其中100是均值μ，100是方差σ^2，因此标准差σ=√100=10。
步骤 2：计算考试成绩ξ位于区间（80，120]内的概率
根据正态分布的性质，成绩ξ位于区间（80，120]内的概率可以通过标准正态分布表来计算。首先，将区间（80，120]转换为标准正态分布的区间，即（80-100）/10到（120-100）/10，即（-2，2]。根据3σ原则，P（-2＜z＜2）=0.9544，因此考试成绩ξ位于区间（80，120]内的概率为0.9544。
步骤 3：估计考试及格（不低于90分）的人数
首先，计算考试成绩ξ不低于90分的概率。将90分转换为标准正态分布的值，即（90-100）/10=-1。根据标准正态分布表，P（z＞-1）=0.8413。因此，考试成绩ξ不低于90分的概率为0.8413。最后，根据总人数2000名考生，估计考试及格的人数为2000×0.8413=1682.6，取整数为1683人。