题目
13.设总体 sim N(mu ,(sigma )^2), x1,x2,···,x15是其一组样本值,已知 sum _(i=1)^15(x)_(i)=8.7, sum _(i=1)^15({x)_(i)}^2=25.05.-|||-求置信水平为0.95的μ和σ^2的置信区间.-|||-附数据: _(0.025)(14)=2.1448 ^20.975(14)=5.629, ^20.025(14)=26.119.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值 $\overline{x}$
样本均值 $\overline{x}$ 可以通过所有样本值的和除以样本数量来计算。给定 $\sum _{i=1}^{15}{x}_{i}=8.7$ 和样本数量为15，我们有：
$$\overline{x} = \frac{1}{15} \sum _{i=1}^{15}{x}_{i} = \frac{1}{15} \times 8.7 = 0.58$$
步骤 2：计算样本方差 ${s}^{2}$
样本方差 ${s}^{2}$ 可以通过以下公式计算：
$${s}^{2} = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$$
其中 $n$ 是样本数量，$\overline{x}$ 是样本均值。给定 $\sum _{i=1}^{15}{{x}_{i}}^{2}=25.05$，我们有：
$${s}^{2} = \frac{1}{14} \left( \sum _{i=1}^{15}{{x}_{i}}^{2} - 15 \overline{x}^2 \right) = \frac{1}{14} \left( 25.05 - 15 \times 0.58^2 \right) = 1.429$$
步骤 3：计算 $\mu$ 的置信区间
$\mu$ 的置信区间可以通过以下公式计算：
$$\mu : \left( \overline{x} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$$
其中 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$n = 15$。给定 ${t}_{0.025}(14)=2.1448$，我们有：
$$\mu : \left( 0.58 - 2.1448 \times \frac{\sqrt{1.429}}{\sqrt{15}}, 0.58 + 2.1448 \times \frac{\sqrt{1.429}}{\sqrt{15}} \right) = (-0.082, 1.242)$$
步骤 4：计算 ${\sigma}^{2}$ 的置信区间
${\sigma}^{2}$ 的置信区间可以通过以下公式计算：
$${\sigma}^{2} : \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \right)$$
其中 $\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 和 $\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 分别是自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布的 $\frac{\alpha}{2}$ 和 $1-\frac{\alpha}{2}$ 分位数，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$n = 15$。给定 ${x}^{2}.075(14)=5.629$ 和 ${x}^{2}.025(14)=26.119$，我们有：
$${\sigma}^{2} : \left( \frac{14 \times 1.429}{26.119}, \frac{14 \times 1.429}{5.629} \right) = (0.766, 3.554)$$
样本均值 $\overline{x}$ 可以通过所有样本值的和除以样本数量来计算。给定 $\sum _{i=1}^{15}{x}_{i}=8.7$ 和样本数量为15，我们有：
$$\overline{x} = \frac{1}{15} \sum _{i=1}^{15}{x}_{i} = \frac{1}{15} \times 8.7 = 0.58$$
步骤 2：计算样本方差 ${s}^{2}$
样本方差 ${s}^{2}$ 可以通过以下公式计算：
$${s}^{2} = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$$
其中 $n$ 是样本数量，$\overline{x}$ 是样本均值。给定 $\sum _{i=1}^{15}{{x}_{i}}^{2}=25.05$，我们有：
$${s}^{2} = \frac{1}{14} \left( \sum _{i=1}^{15}{{x}_{i}}^{2} - 15 \overline{x}^2 \right) = \frac{1}{14} \left( 25.05 - 15 \times 0.58^2 \right) = 1.429$$
步骤 3：计算 $\mu$ 的置信区间
$\mu$ 的置信区间可以通过以下公式计算：
$$\mu : \left( \overline{x} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$$
其中 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$n = 15$。给定 ${t}_{0.025}(14)=2.1448$，我们有：
$$\mu : \left( 0.58 - 2.1448 \times \frac{\sqrt{1.429}}{\sqrt{15}}, 0.58 + 2.1448 \times \frac{\sqrt{1.429}}{\sqrt{15}} \right) = (-0.082, 1.242)$$
步骤 4：计算 ${\sigma}^{2}$ 的置信区间
${\sigma}^{2}$ 的置信区间可以通过以下公式计算：
$${\sigma}^{2} : \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \right)$$
其中 $\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 和 $\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ 分别是自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布的 $\frac{\alpha}{2}$ 和 $1-\frac{\alpha}{2}$ 分位数，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$n = 15$。给定 ${x}^{2}.075(14)=5.629$ 和 ${x}^{2}.025(14)=26.119$，我们有：
$${\sigma}^{2} : \left( \frac{14 \times 1.429}{26.119}, \frac{14 \times 1.429}{5.629} \right) = (0.766, 3.554)$$