题目
设X_1,X_2为来自总体N(mu,sigma^2)的样本，则下列是mu的无偏估计量的是(）。A. (1)/(3)X_1+(2)/(3)X_2B. X_1+(1)/(2)X_2C. X_1+X_2D. (1)/(2)X_1+(1)/(2)X_2
设$X_1,X_2$为来自总体$N(\mu,\sigma^2)$的样本，则下列是$\mu$的无偏估计量的是(）。
A. $\frac{1}{3}X_1+\frac{2}{3}X_2$
B. $X_1+\frac{1}{2}X_2$
C. $X_1+X_2$
D. $\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2$
题目解答
答案
AD
A. $\frac{1}{3}X_1+\frac{2}{3}X_2$
D. $\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2$
A. $\frac{1}{3}X_1+\frac{2}{3}X_2$
D. $\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2$
解析
步骤 1：定义无偏估计量
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于$\mu$的无偏估计量，需要满足$E(\hat{\mu}) = \mu$。
步骤 2：计算各选项的期望值
- **A：** $E\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2\right) = \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{2}{3}E(X_2) = \frac{1}{3}\mu + \frac{2}{3}\mu = \mu$，无偏。
- **B：** $E\left(X_1 + \frac{1}{2}X_2\right) = E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) = \mu + \frac{1}{2}\mu = \frac{3}{2}\mu$，有偏。
- **C：** $E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = \mu + \mu = 2\mu$，有偏。
- **D：** $E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2\right) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu$，无偏。
步骤 3：确定无偏估计量
根据计算结果，选项A和D的期望值等于$\mu$，因此它们是$\mu$的无偏估计量。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于$\mu$的无偏估计量，需要满足$E(\hat{\mu}) = \mu$。
步骤 2：计算各选项的期望值
- **A：** $E\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2\right) = \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{2}{3}E(X_2) = \frac{1}{3}\mu + \frac{2}{3}\mu = \mu$，无偏。
- **B：** $E\left(X_1 + \frac{1}{2}X_2\right) = E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) = \mu + \frac{1}{2}\mu = \frac{3}{2}\mu$，有偏。
- **C：** $E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = \mu + \mu = 2\mu$，有偏。
- **D：** $E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2\right) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu$，无偏。
步骤 3：确定无偏估计量
根据计算结果，选项A和D的期望值等于$\mu$，因此它们是$\mu$的无偏估计量。