10.已知f'(x)=arctan(x-1)^2，f(0)=0，则int_(0)^1f(x)dx=____.
题目解答
答案
已知 $ f'(x) = \arctan(x-1)^2 $，利用分部积分法求解 $\int_0^1 f(x) \, dx$。
设 $ u = f(x) $，则
$\int_0^1 f(x) \, dx = \left[ x f(x) \right]_0^1 - \int_0^1 x f'(x) \, dx = f(1) - \int_0^1 x \arctan(x-1)^2 \, dx.$
令 $ t = x-1 $，则
$f(1) = \int_{-1}^0 \arctan t^2 \, dt,$
$\int_0^1 x \arctan(x-1)^2 \, dx = \int_{-1}^0 (t+1) \arctan t^2 \, dt = f(1) + \int_{-1}^0 t \arctan t^2 \, dt.$
故
$\int_0^1 f(x) \, dx = -\int_{-1}^0 t \arctan t^2 \, dt = \frac{1}{2} \int_0^1 \arctan u \, du.$
计算得
$\int_0^1 \arctan u \, du = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2,$
因此
$\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \ln 2.$
答案： $\boxed{\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \ln 2}$
解析
考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及通过变量替换处理复杂积分的能力。关键在于将原积分转化为已知条件中的导数表达式，并通过变量替换简化积分形式。
解题思路：
- 分部积分法：利用分部积分将原积分中的$f(x)$与$f'(x)$关联，从而引入已知条件$f'(x) = \arctan(x-1)^2$。
- 变量替换：通过令$t = x-1$，将积分区间转换为对称区间，简化计算。
- 对称性分析：利用奇偶函数的积分性质，进一步简化积分表达式。
- 分部积分求解$\int \arctan u \, du$：通过分部积分法计算最终的剩余积分。
分部积分法应用
设$u = f(x)$，则$du = f'(x)dx = \arctan(x-1)^2 dx$，$dv = dx$，则$v = x$。根据分部积分公式：
$\int_0^1 f(x)dx = \left[ x f(x) \right]_0^1 - \int_0^1 x f'(x)dx.$
由$f(0) = 0$，得$\left[ x f(x) \right]_0^1 = f(1)$，因此：
$\int_0^1 f(x)dx = f(1) - \int_0^1 x \arctan(x-1)^2 dx.$
变量替换简化积分
令$t = x-1$，则$x = t+1$，积分区间变为$t \in [-1, 0]$，原积分变为：
$\int_0^1 x \arctan(x-1)^2 dx = \int_{-1}^0 (t+1) \arctan(t^2) dt.$
拆分为两部分：
$\int_{-1}^0 t \arctan(t^2) dt + \int_{-1}^0 \arctan(t^2) dt.$
其中，$\int_{-1}^0 \arctan(t^2) dt = f(1)$（由$f'(x) = \arctan(x-1)^2$和$f(0)=0$可得）。
对称性简化
原积分表达式变为：
$\int_0^1 f(x)dx = f(1) - \left( f(1) + \int_{-1}^0 t \arctan(t^2) dt \right) = -\int_{-1}^0 t \arctan(t^2) dt.$
令$u = t^2$，则$t = -\sqrt{u}$，$dt = -\frac{du}{2\sqrt{u}}$，积分变为：
$-\int_{-1}^0 t \arctan(t^2) dt = \frac{1}{2} \int_0^1 \arctan(u) du.$
计算剩余积分
通过分部积分法计算$\int_0^1 \arctan(u) du$：
设$v = \arctan(u)$，$dw = du$，则$dv = \frac{1}{1+u^2} du$，$w = u$，得：
$\int \arctan(u) du = u \arctan(u) - \frac{1}{2} \ln(1+u^2) + C.$
代入上下限：
$\int_0^1 \arctan(u) du = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2.$