题目
单选已知某电子设备的使用寿命 ( 从开始使用到初次失效为止 ) 服从指数分布其密度函数为(x,lambda )= ) lambda (e)^-lambda x xgeqslant 0 0 xlt 0 .
单选已知某电子设备的使用寿命 ( 从开始使用到初次失效为止 ) 服从指数分布其密度函数为
未知，今随机抽取n台，测得寿命平均值
，则参数的极大似然估计值为（）
A
B 
C
D
题目解答
答案
本题答案选C
由于
，因而
，于是可得方程
，所以的矩估计量为
，由于似然函数
两边取对数得
关于求导得似然方程
解方程得得最大似然估计量
又因为已知平均值
故可得，则选A
解析
步骤 1：确定指数分布的期望值
指数分布的期望值为$E(X)=\dfrac {1}{\lambda }$，其中$\lambda$是指数分布的参数。
步骤 2：计算参数的矩估计量
由于$E(X)=\dfrac {1}{\lambda }$，因此矩估计量为$\lambda =\dfrac {1}{x}$，其中$x$是样本均值。
步骤 3：计算参数的极大似然估计量
似然函数为$L(\lambda )={\lambda }^{n}{e}^{-\lambda \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}$，对数似然函数为$\ln L(\lambda )=n\ln \lambda -\lambda \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}$。对$\ln L(\lambda )$关于$\lambda$求导并令导数为0，得到极大似然估计量$\hat {\lambda }=\dfrac {1}{x}$。
步骤 4：代入样本均值计算参数的极大似然估计值
已知样本均值$\overline {x}=318$，代入极大似然估计量$\hat {\lambda }=\dfrac {1}{x}$，得到$\hat {\lambda }=\dfrac {1}{318}$。
指数分布的期望值为$E(X)=\dfrac {1}{\lambda }$，其中$\lambda$是指数分布的参数。
步骤 2：计算参数的矩估计量
由于$E(X)=\dfrac {1}{\lambda }$，因此矩估计量为$\lambda =\dfrac {1}{x}$，其中$x$是样本均值。
步骤 3：计算参数的极大似然估计量
似然函数为$L(\lambda )={\lambda }^{n}{e}^{-\lambda \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}$，对数似然函数为$\ln L(\lambda )=n\ln \lambda -\lambda \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}$。对$\ln L(\lambda )$关于$\lambda$求导并令导数为0，得到极大似然估计量$\hat {\lambda }=\dfrac {1}{x}$。
步骤 4：代入样本均值计算参数的极大似然估计值
已知样本均值$\overline {x}=318$，代入极大似然估计量$\hat {\lambda }=\dfrac {1}{x}$，得到$\hat {\lambda }=\dfrac {1}{318}$。