[题目]设 approx N(0,1) backsim N(1,1), 且X,Y是相-|||-互独立的,则 () 。-|||-A. X+Yleqslant 0 =0.5-|||-B. X+Yleqslant 1 =0.5-|||-C. X-Yleqslant 0 =0.5-|||-D. X-Yleqslant 1 =0.5

考查要点：本题主要考查独立正态分布变量的线性组合及其概率计算，需要掌握正态分布的性质及标准化方法。

解题核心思路：

1. 确定变量的分布：根据X和Y的独立性，求出相关线性组合（如X+Y, X−Y等）的正态分布参数（均值和方差）。
2. 标准化处理：将目标事件转化为标准正态分布变量的函数，利用标准正态分布的对称性判断概率是否为0.5。
3. 排除干扰项：通过分析各选项对应的分布特征，排除不符合对称性条件的选项。

破题关键点：

• 选项B的关键：X+Y的均值为1，方差为2，标准化后对应标准正态分布的中位数，概率自然为0.5。
• 其他选项的误区：如选项C中X−Y的均值非零，导致对称性不成立；选项D涉及乘积分布，无法直接应用对称性。

选项B的验证

1. 求X+Y的分布：

   • X ∼ N(0,1)，Y ∼ N(1,1)，且独立。
   • X+Y的均值：μ = 0 + 1 = 1。
   • X+Y的方差：σ² = 1² + 1² = 2，因此X+Y ∼ N(1, 2)。

2. 标准化处理：

   • 将X+Y标准化为标准正态变量：
     $Z = \frac{X + Y - 1}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$
   • 原事件转化为：
     $P\{X + Y \leq 1\} = P\left\{ Z \leq \frac{1 - 1}{\sqrt{2}} \right\} = P\{Z \leq 0\} = 0.5$

3. 结论：选项B正确。

其他选项分析

• 选项A：X+Y ∼ N(1,2)，均值为1，P{X+Y ≤0} < 0.5。
• 选项C：X−Y ∼ N(−1,2)，均值为−1，P{X−Y ≤0} > 0.5。
• 选项D：X·Y的分布复杂，无法直接判断对称性，概率不等于0.5。