题目
样本((X)_(1)，(X)_(2)，... ，(X)_(16))取自标准正态分布总体N(0，1)，overline(X)、S分别为样本均值和标准差，则(,,,,,)A、overline(X)sim N(0，1)B、overline(X)sim N(0，dfrac(1)(16))C、dfrac(overline{X)}(S)sim t(15)D、sumlimits _(i=1)^16(X)_(i)sim (x)^2(16)
样本(${X}_{1}$，${X}_{2}$，$\cdots $，${X}_{16}$)取自标准正态分布总体$N\left(0，1\right)$，$\overline{X}$、$S$分别为样本均值和标准差，则$\left(\,\,\,\,\,\right)$
$A$$、$$\overline{X}\sim N\left(0，1\right)$
$B$$、$$\overline{X}\sim N\left(0，\dfrac{1}{16}\right)$
$C$$、$$\dfrac{\overline{X}}{S}\sim t\left(15\right)$
$D$$、$$\sum\limits _{i=1}^{16}{X}_{i}\sim {x}^{2}\left(16\right)$
题目解答
答案
解析
步骤 1：样本均值的分布
样本均值$\overline{X}$的分布可以由中心极限定理得出。对于一个标准正态分布总体$N(0,1)$，样本均值$\overline{X}$的分布为$N(0,\frac{1}{n})$，其中$n$是样本量。在这个问题中，$n=16$，因此$\overline{X}\sim N(0,\frac{1}{16})$。
步骤 2：样本标准差的分布
样本标准差$S$的分布与样本均值$\overline{X}$的分布无关，但与样本量$n$有关。对于标准正态分布总体，样本标准差$S$的分布是卡方分布的函数，但在这个问题中，我们不需要具体计算$S$的分布，因为问题关注的是$\overline{X}$的分布。
步骤 3：检验选项
$A$选项：$\overline{X}\sim N(0,1)$，这是错误的，因为样本均值的方差应该是$\frac{1}{n}$，而不是$1$。
$B$选项：$\overline{X}\sim N(0,\frac{1}{16})$，这是正确的，因为样本均值的方差是$\frac{1}{n}$，而$n=16$。
$C$选项：$\frac{\overline{X}}{S}\sim t(15)$，这是错误的，因为$\frac{\overline{X}}{S}$的分布是$t$分布，但需要知道$S$的分布，而题目没有提供足够的信息来确定$S$的分布。
$D$选项：$\sum\limits_{i=1}^{16}{X}_{i}\sim {x}^{2}(16)$，这是错误的，因为$\sum\limits_{i=1}^{16}{X}_{i}$的分布是正态分布，而不是卡方分布。
样本均值$\overline{X}$的分布可以由中心极限定理得出。对于一个标准正态分布总体$N(0,1)$，样本均值$\overline{X}$的分布为$N(0,\frac{1}{n})$，其中$n$是样本量。在这个问题中，$n=16$，因此$\overline{X}\sim N(0,\frac{1}{16})$。
步骤 2：样本标准差的分布
样本标准差$S$的分布与样本均值$\overline{X}$的分布无关，但与样本量$n$有关。对于标准正态分布总体，样本标准差$S$的分布是卡方分布的函数，但在这个问题中，我们不需要具体计算$S$的分布，因为问题关注的是$\overline{X}$的分布。
步骤 3：检验选项
$A$选项：$\overline{X}\sim N(0,1)$，这是错误的，因为样本均值的方差应该是$\frac{1}{n}$，而不是$1$。
$B$选项：$\overline{X}\sim N(0,\frac{1}{16})$，这是正确的，因为样本均值的方差是$\frac{1}{n}$，而$n=16$。
$C$选项：$\frac{\overline{X}}{S}\sim t(15)$，这是错误的，因为$\frac{\overline{X}}{S}$的分布是$t$分布，但需要知道$S$的分布，而题目没有提供足够的信息来确定$S$的分布。
$D$选项：$\sum\limits_{i=1}^{16}{X}_{i}\sim {x}^{2}(16)$，这是错误的，因为$\sum\limits_{i=1}^{16}{X}_{i}$的分布是正态分布，而不是卡方分布。