【例3】某数字展馆沿入口两侧各设有3个展位。现需安排数字产品展位和人工智能展位各3个，且数字产品展位不能都安排在同一侧，那么共有多少种安排方式? ( )A. 244B. 648C. 684D. 720

本题考查排列组合的知识，解题思路是先求出所有的安排方式，再求出数字产品展位都安排在同一侧的方式，最后用总的安排方式减去数字产品展位都在同一侧的安排方式，即可得到数字产品展位不能都安排在同一侧的安排方式。

步骤一：计算所有的安排方式

已知要安排数字产品展位和人工智能展位各$3$个，总共$6$个展位，从$6$个展位中选$3$个安排数字产品展位，剩下的$3$个自然就是人工智能展位。
根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 6$，$k = 3$，则安排方式有：
$\begin{align*}C_{6}^3&=\frac{6!}{3!(6 - 3)!}\\&=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}\\&= 20\end{align*}$
因为每个展位的安排是有顺序的，对于选出来的$3$个数字产品展位和$3$个人工智能展位，它们各自内部都有$3!$种排列方式，所以总的安排方式有$20\times3!\times3!$
$\begin{align*}20\times3!\times3!&=20\times(3\times2\times1)\times(3\times2\times1)\\&=20\times6\times6\\&= 720\end{align*}$

步骤二：计算数字产品展位都安排在同一侧的方式

入口两侧各有$3$个展位，数字产品展位都安排在同一侧有$2$种情况（左侧或右侧）。
当数字产品展位都在同一侧时，这$3$个数字产品展位内部有$3!$种排列方式，$3$个人工智能展位在另一侧也有$3!$种排列方式，所以数字产品展位都安排在同一侧的安排方式有$2\times3!\times3!$
$\begin{align*}2\times3!\times3!&=2\times(3\times2\times1)\times(3\times2\times1)\\&=2\times6\times6\\&= 72\end{align*}$

步骤三：计算数字产品展位不能都安排在同一侧的安排方式

用总的安排方式减去数字产品展位都在同一侧的安排方式，可得数字产品展位不能都安排在同一侧的安排方式有$720 - 72 = 648$（种）