10.设X~N(μ,σ²)，要使Y~N(0,1)，则（）。A. Y=(X)/(σ)+μB. Y=σX+μC. Y=(X-μ)/(σ)D. Y=σX-μ

考查要点：本题主要考查正态分布的标准化变换，即如何将一般正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$转化为标准正态分布$Y \sim N(0,1)$。

解题核心思路：
通过线性变换调整原分布的均值和方差，使得新变量$Y$的均值为0，方差为1。关键在于减去均值μ并除以标准差σ，从而消除位置和尺度的影响。

破题关键点：

1. 标准化公式：$Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
2. 验证选项中各变换后的期望$E(Y)$是否为0，方差$D(Y)$是否为1。

要使$Y \sim N(0,1)$，需对$X \sim N(\mu, \sigma^2)$进行标准化。具体步骤如下：

标准化公式推导

设$Y = aX + b$，要求$E(Y) = 0$，$D(Y) = 1$。

• 期望：$E(Y) = a\mu + b = 0$
• 方差：$D(Y) = a^2 \sigma^2 = 1$

解得：
$a = \frac{1}{\sigma}, \quad b = -\frac{\mu}{\sigma}$
因此，标准化公式为：
$Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$

选项分析

• 选项C：$Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$

  • $E(Y) = \frac{\mu - \mu}{\sigma} = 0$
  • $D(Y) = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$
    符合标准正态分布要求。

• 其他选项：

  • A：$Y = \frac{X}{\sigma} + \mu$
    $E(Y) = \frac{\mu}{\sigma} + \mu \neq 0$
  • B：$Y = \sigma X + \mu$
    $E(Y) = \sigma \mu + \mu \neq 0$
  • D：$Y = \sigma X - \mu$
    $E(Y) = \sigma \mu - \mu \neq 0$

综上，选项C正确。