题目

77.(填空题)A=(}1&2&32&3&-54&7&1),则R(A)=()

77.(填空题)$A=\left(\begin{matrix}1&2&3\\2&3&-5\\4&7&1\end{matrix}\right)$,则R(A)=()

题目解答

对矩阵 $ A = \begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&-5\\4&7&1\end{bmatrix} $ 进行初等行变换：

$ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 $，得 $\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-1&-11\\4&7&1\end{bmatrix}$。
$ R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1 $，得 $\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-1&-11\\0&-1&-11\end{bmatrix}$。
$ R_3 \leftarrow R_3 - R_2 $，得 $\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-1&-11\\0&0&0\end{bmatrix}$。

行阶梯形矩阵有2行非零行，故秩为2。

答案： $\boxed{2}$

本题考察矩阵的秩的计算，通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩。

步骤1：对矩阵$A$进行初等行变换

给定矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&-5\\4&7&1\end{pmatrix}$，目标是通过初等行变换消去下方元素，化为行阶梯形：

第一行保持不变：$R_1: [1,2,3]$
第二行减去第一行的2倍：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$，得$R_2: [2-2×1, 3-2×2, -5-2×3] = [0,-1,-11]$
第三行减去第一行的4倍：$R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1$，得$R_3: [4-4×1, 7-4×2, 1-4×3] = [0,-1,-11]$

步骤2：继续化简为行阶梯形

此时矩阵变为$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-11\\0&-1&-11\end{pmatrix}$，再消去第三行与第二行的重复：

步骤3：确定矩阵的秩

最终行阶梯形矩阵为$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-11\\0&0&0\end{pmatrix}$，非零行的行数为2，故矩阵$A$的秩$R(A)=2$。