题目
设O为 Delta ABC 的外心,连AO并延长交 Delta ABC 的外接圆于D,BC的延长线与过D-|||-点的 ⊙O 的切线l交于P,直线PO交AB于N,交AC于M求证: =ON.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造辅助线
过B作PO的平行线交AD于F,交AC的延长线于G,作 $OE\bot BC$ 于E,则E是BC的中点, 而 $OE\bot BC$ ,即 $OE\bot EF$ 又 $OD\bot PD$ ,则O,E,D,P四点共圆.连ED,知 $\angle FDE=\angle OPE$
步骤 2：证明四点共圆
因 $BG\ykparallel $ PO ,则 $\angle OPB=\angle PBG$ ,进而 $\angle EBF=\angle EDF$ ,故B,E,F,D四点共圆.
步骤 3：证明平行线
所以 $\angle CEF=\angle FDB=$ $\angle ACB$ ,从而 $EF\ykparallel AG$
步骤 4：证明中点
又E为BC的中点,则F是BG的中点.又 $PO\ykparallel BG$ ,从而O是MN的中点,故 $OM=ON$.
过B作PO的平行线交AD于F,交AC的延长线于G,作 $OE\bot BC$ 于E,则E是BC的中点, 而 $OE\bot BC$ ,即 $OE\bot EF$ 又 $OD\bot PD$ ,则O,E,D,P四点共圆.连ED,知 $\angle FDE=\angle OPE$
步骤 2：证明四点共圆
因 $BG\ykparallel $ PO ,则 $\angle OPB=\angle PBG$ ,进而 $\angle EBF=\angle EDF$ ,故B,E,F,D四点共圆.
步骤 3：证明平行线
所以 $\angle CEF=\angle FDB=$ $\angle ACB$ ,从而 $EF\ykparallel AG$
步骤 4：证明中点
又E为BC的中点,则F是BG的中点.又 $PO\ykparallel BG$ ,从而O是MN的中点,故 $OM=ON$.