题目
注 类似地，(1)已知平面区域D=((x,y)|sqrt(1-y^2)le xle 1,-1≤y≤1),计算iint(x)/(sqrt(x^2)+y^(2) )dxdy.
注 类似地，
(1)已知平面区域D={(x,y)|$\sqrt{1-y^{2}}\le x\le 1$,-1≤y≤1},计算$\iint\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} }dxdy$.
题目解答
答案
将区域 $D$ 表示为 $-1 \leq y \leq 1$，$\sqrt{1 - y^2} \leq x \leq 1$，则二重积分为：
\[
\int_{-1}^1 \int_{\sqrt{1 - y^2}}^1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx \, dy.
\]
内积分计算得：
\[
\int_{\sqrt{1 - y^2}}^1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx = \sqrt{1 + y^2} - 1.
\]
外积分为：
\[
\int_{-1}^1 \left( \sqrt{1 + y^2} - 1 \right) \, dy = 2 \int_0^1 \sqrt{1 + y^2} \, dy - 2.
\]
利用已知结果：
\[
\int_0^1 \sqrt{1 + y^2} \, dy = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\ln(1 + \sqrt{2})}{2},
\]
得：
\[
2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\ln(1 + \sqrt{2})}{2} \right) - 2 = \sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2}) - 2.
\]
**答案：** $\boxed{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2}) - 2}$
解析
本题考查二重积分的计算，核心思路是先对$x$积分，再对$y$积分。关键点在于：
- 识别积分区域：区域$D$是右半单位圆外、直线$x=1$内的竖条区域；
- 变量替换简化内积分：对$x$积分时，通过替换$u = x^2 + y^2$，将积分转化为简单形式；
- 利用对称性简化外积分：被积函数为偶函数，积分区间对称，可将外积分转化为$2$倍的$[0,1]$区间积分；
- 应用积分公式：需掌握$\int \sqrt{1+y^2} \, dy$的标准结果。
内积分计算
对$x$积分：
$\int_{\sqrt{1 - y^2}}^1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx$
变量替换：令$u = x^2 + y^2$，则$du = 2x \, dx$，积分变为：
$\frac{1}{2} \int_{u=1}^{1+y^2} u^{-1/2} \, du = \sqrt{1+y^2} - 1$
外积分计算
对$y$积分：
$\int_{-1}^1 \left( \sqrt{1 + y^2} - 1 \right) \, dy$
对称性简化：被积函数为偶函数，故：
$2 \int_0^1 \sqrt{1 + y^2} \, dy - 2 \int_0^1 1 \, dy = 2 \int_0^1 \sqrt{1 + y^2} \, dy - 2$
应用积分公式：
$\int \sqrt{1+y^2} \, dy = \frac{y}{2} \sqrt{1+y^2} + \frac{1}{2} \ln \left( y + \sqrt{1+y^2} \right)$
代入上下限$0$到$1$，得：
$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\ln(1+\sqrt{2})}{2}$
最终结果为：
$2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\ln(1+\sqrt{2})}{2} \right) - 2 = \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) - 2$