设f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 .，则f（x）在x=1处的（ ）。A、左、右导数都存在B、左导数存在，但右导数不存在C、左导数不存在，但右导数存在D、左、右导数都不存在

本题考查分段函数在分段点处的左右导数存在性判断。关键点在于：

1. 左右导数的定义：左导数用左邻域的表达式，右导数用右邻域的表达式；
2. 函数在分段点的连续性：若函数在分段点不连续，导数不存在，但左右导数可能仍存在；
3. 极限计算：需正确代入分段点的函数值，避免混淆左右表达式。

左导数计算

当$x \leq 1$时，$f(x) = \dfrac{2}{3}x^3$，左导数定义为：
$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$
代入$f(1+h) = \dfrac{2}{3}(1+h)^3$和$f(1) = \dfrac{2}{3}$：
$\begin{aligned}f'_-(1) &= \lim_{h \to 0^-} \frac{\dfrac{2}{3}(1+h)^3 - \dfrac{2}{3}}{h} \\&= \dfrac{2}{3} \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+3h+3h^2+h^3) - 1}{h} \\&= \dfrac{2}{3} \lim_{h \to 0^-} \frac{3h + 3h^2 + h^3}{h} \\&= \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2\end{aligned}$
左导数存在，值为2。

右导数计算

当$x > 1$时，$f(x) = x^2$，右导数定义为：
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$
代入$f(1+h) = (1+h)^2$和$f(1) = \dfrac{2}{3}$：
$\begin{aligned}f'_+(1) &= \lim_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2 - \dfrac{2}{3}}{h} \\&= \lim_{h \to 0^+} \frac{1 + 2h + h^2 - \dfrac{2}{3}}{h} \\&= \lim_{h \to 0^+} \frac{\dfrac{1}{3} + 2h + h^2}{h} \\&= \lim_{h \to 0^+} \left( \frac{1}{3h} + 2 + h \right)\end{aligned}$
当$h \to 0^+$时，$\dfrac{1}{3h} \to +\infty$，因此右导数不存在。