题目

某校 2262 学生的《预防医学》课程的期末成绩均数x=72 分,标准差 s=9 分,试估计该门课程成绩低于 60 分的比例及人数。(已知《预防学》课程的考试成绩呈正态分布)。

题目解答

答案

给定信息：

- 学生人数：n = 2262

- 均数：

- 标准差：

- 欲估计成绩低于 60 分的比例和人数

正态分布的概率密度函数为：

要估计成绩低于 60 分的比例，我们可以计算在时的概率。即，

这个积分可以通过查找标准正态分布的累积分布函数表（或使用计算工具）来估算，因为已知成绩呈正态分布。类似地，我们可以计算出在 x \leq 60 时的人数。

解答过程：

首先，计算标准正态分布的z值：

然后，查找标准正态分布的累积分布函数表，或使用计算工具，得到对应的累积概率为约 0.0918。

这表示成绩低于 60 分的比例约为 9.18%。接着，我们可以计算人数。由于人数是整数，我们将概率乘以总人数得到近似人数：

因此，成绩低于 60 分的人数约为 207 人。

最终答案：

成绩低于 60 分的比例约为 9.18%，人数约为 207 人。

解析

步骤 1：计算标准正态分布的z值
根据题目给出的信息，均数 $\mu = 72$ 分，标准差 $\sigma = 9$ 分，要估计成绩低于 60 分的比例，首先需要计算标准正态分布的z值。z值的计算公式为：
$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$
将给定的数值代入公式中，得到：
$$z = \frac{60 - 72}{9} = -1.33$$
步骤 2：查找标准正态分布的累积分布函数表
根据计算得到的z值，查找标准正态分布的累积分布函数表，或使用计算工具，得到对应的累积概率。z = -1.33 对应的累积概率约为 0.0918。
步骤 3：计算成绩低于 60 分的比例和人数
根据累积概率，成绩低于 60 分的比例约为 9.18%。接着，我们可以计算人数。由于人数是整数，我们将概率乘以总人数得到近似人数：
人数 = 比例 × 总人数 $\approx 0.0918 \times 2262 \approx 207.53$
因此，成绩低于 60 分的人数约为 207 人。