题目
设(x1,···xn)是取自 sim N((0.0)^2) 的样本, ((Y)_(11)... ,(X)_(n)), 是取自 sim N((mu )_(1)(sigma )^2) 的样本,-|||-X与Y相互独立,若 dfrac (k{(x))^2}(sum _{i=1)^n(({x)_(i)-overline ({x)_(1)}^2)}^2} 服从F分布,自由度是A.1,nB.n-1,n-1C.1, 1D.1,n-1
- A.1,n
- B.n-1,n-1
- C.1, 1
- D.1,n-1
题目解答
答案
D. 1,n-1
解析
步骤 1：理解题目背景
题目中提到的 $X\sim N({0.0}^{2})$ 和 $Y\sim N({\mu }_{1}{\sigma }^{2})$ 分别表示两个正态分布的样本，其中 $X$ 的均值为0，方差为 $\sigma^2$，而 $Y$ 的均值为 $\mu_1$，方差也为 $\sigma^2$。$X$ 和 $Y$ 是相互独立的。
步骤 2：分析F分布的定义
F分布是两个独立的卡方分布的比值，其中每个卡方分布除以其自由度。题目中给出的表达式 $\dfrac {k{(x)}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {{x}_{1}}^{2})}^{2}}$ 与F分布的定义相关，其中 $k(x)^2$ 可以看作是分子的卡方分布，而分母是样本方差的估计，即 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {{x}_{1}}^{2})}^{2}$。
步骤 3：确定自由度
分子 $k(x)^2$ 是一个单个观测值的平方，因此其自由度为1。分母 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {{x}_{1}}^{2})}^{2}$ 是样本方差的估计，其自由度为 $n-1$，因为计算样本方差时需要减去样本均值，从而损失了一个自由度。
题目中提到的 $X\sim N({0.0}^{2})$ 和 $Y\sim N({\mu }_{1}{\sigma }^{2})$ 分别表示两个正态分布的样本，其中 $X$ 的均值为0，方差为 $\sigma^2$，而 $Y$ 的均值为 $\mu_1$，方差也为 $\sigma^2$。$X$ 和 $Y$ 是相互独立的。
步骤 2：分析F分布的定义
F分布是两个独立的卡方分布的比值，其中每个卡方分布除以其自由度。题目中给出的表达式 $\dfrac {k{(x)}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {{x}_{1}}^{2})}^{2}}$ 与F分布的定义相关，其中 $k(x)^2$ 可以看作是分子的卡方分布，而分母是样本方差的估计，即 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {{x}_{1}}^{2})}^{2}$。
步骤 3：确定自由度
分子 $k(x)^2$ 是一个单个观测值的平方，因此其自由度为1。分母 $\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {{x}_{1}}^{2})}^{2}$ 是样本方差的估计，其自由度为 $n-1$，因为计算样本方差时需要减去样本均值，从而损失了一个自由度。