4.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?

本题考查独立同分布的中心极限定理的应用。解题思路是先根据已知条件确定单个零件重量的期望和方差，再利用期望和方差的性质求出$5000$只零件总重量的期望和方差，然后将总重量进行标准化，最后通过标准正态分布表求出相应概率。

1. 确定单个零件重量的期望和方差：
   已知各零件重量$X_i$相互独立且服从相同分布，数学期望$E(X_i)=0.5$kg，均方差$\sigma = 0.1$kg，根据方差的定义$\sigma^2 = (\text{均方差})^2$，可得方差$\text{Var}(X_i)=\sigma^2 = 0.1^2 = 0.01$。
2. 计算$5000$只零件总重量的期望和方差：
   设总重量$Z = \sum_{i = 1}^{5000}X_i$。
   • 根据期望的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，则$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$，可得$E(Z)=E(\sum_{i = 1}^{5000}X_i)=\sum_{i = 1}^{5000}E(X_i)=5000\times0.5 = 2500$kg。
   • 根据方差的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，则$\text{Var}(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}\text{Var}(X_i)$，可得$\text{Var}(Z)=\text{Var}(\sum_{i = 1}^{5000}X_i)=\sum_{i = 1}^{5000}\text{Var}(X_i)=5000\times0.01 = 50$。
   • 进而可得总重量$Z$的均方差$\sigma_Z = \sqrt{\text{Var}(Z)}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7.071$。
3. 对总重量进行标准化：
   设$U=\frac{Z - E(Z)}{\sigma_Z}$，则$U$服从标准正态分布$N(0,1)$。
   要求$P(Z > 2510)$，将其标准化可得：
   $\begin{align*}P(Z > 2510)&=P\left(\frac{Z - 2500}{5\sqrt{2}} > \frac{2510 - 2500}{5\sqrt{2}}\right)\\&=P\left(U > \frac{10}{5\sqrt{2}}\right)\\&=P\left(U > \sqrt{2}\right)\end{align*}$
4. 通过标准正态分布表求概率：
   已知标准正态分布的分布函数为$\Phi(u)=P(U\leq u)$，则$P(U > \sqrt{2}) = 1 - P(U\leq\sqrt{2}) = 1 - \Phi(\sqrt{2})$。
   查标准正态分布表可得$\Phi(\sqrt{2})\approx0.92135$，所以$P(U > \sqrt{2})\approx1 - 0.92135 = 0.07865$。
   四舍五入后，概率为$0.0786$。