[题目]生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量-|||-是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千-|||-克,若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中-|||-心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保-|||-障不超载的概率大于0.977. (★)(2)=0.977, 其中^4(x)是标-|||-准正态分布函数)。

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及如何利用正态分布的概率性质解决实际问题。

解题核心思路：

1. 识别问题类型：题目要求确定在不超载的概率下最多能装多少箱，属于正态近似求解临界值的问题。
2. 构建模型：将每箱重量视为独立同分布的随机变量，总重量为它们的和。
3. 应用中心极限定理：总重量近似服从正态分布，通过标准化转化为标准正态分布的概率计算。
4. 解不等式：根据给定概率对应的分位数，建立不等式求解最大箱数。

破题关键点：

• 正确计算总重量的均值与标准差：均值为$50n$，标准差为$5\sqrt{n}$。
• 标准化过程：将总重量不超过5000千克的条件转化为标准正态分布的分位数。
• 不等式方向：注意概率对应的分位数为2时，标准化后的表达式需大于等于2。

设第$i$箱的重量为$X_i$（单位：千克），$n$为所求箱数。根据题意：

• $X_i$独立同分布，均值$E(X_i)=50$，标准差$\sqrt{D(X_i)}=5$。
• 总重量$S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，其均值为$E(S_n)=50n$，标准差为$\sqrt{D(S_n)}=5\sqrt{n}$。

应用中心极限定理：
当$n$较大时，$S_n$近似服从正态分布$N(50n, 25n)$。标准化后：
$Z = \frac{S_n - 50n}{5\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

概率条件转化：
要求$P(S_n \leq 5000) \geq 0.977$，即：
$P\left(\frac{S_n - 50n}{5\sqrt{n}} \leq \frac{5000 - 50n}{5\sqrt{n}}\right) \geq 0.977$
根据$\Phi(2)=0.977$，得：
$\frac{5000 - 50n}{5\sqrt{n}} \geq 2$

解不等式：
化简得：
$\frac{1000 - 10n}{\sqrt{n}} \geq 2 \quad \Rightarrow \quad 1000 - 10n \geq 2\sqrt{n}$
令$t = \sqrt{n}$，方程变为：
$10t^2 + 2t - 1000 \leq 0$
解得正根$t \approx 9.9005$，即$n \approx t^2 \approx 98.0199$。因此，最多可装98箱。