题目

将标号为1，2，3，4的四个球随意地排成一行，求下列各事件的概率：(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1，2，3，4的顺序；(2)第1号球排在最右边或最左边.

将标号为$1，2，3，4$的四个球随意地排成一行，求下列各事件的概率：

$\left(1\right)$各球自左至右或自右至左恰好排成$1，2，3，4$的顺序；

$\left(2\right)$第$1$号球排在最右边或最左边.

题目解答

答案

$\left(1\right)$标号为$1$,$2$,$3$,$4$的四个球随意地排成一行有${A}_{4}^{4}=24\left(\right.$种$\left.\right)$等可能情况,

四个球自左至右或自右至左恰好排成$1$,$2$,$3$,$4$的顺序的情况只有$2$种,

所以所求概率为$\dfrac{2}{24}=\dfrac{1}{12}$.

$\left(2\right)$标号为$1$,$2$,$3$,$4$的四个球随意地排成一行有${A}_{4}^{4}=24\left(\right.$种$)$等可能情况,

$1$号球排在最右边或最左边的情况有${C}_{2}^{1}\cdot {A}_{3}^{3}=12\left(\right.$种$\left.\right)$,

所以所求概率为$\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}$.

解析

考查要点：本题主要考查排列组合的基本应用及概率计算，涉及排列数的计算、互斥事件的概率加法。

解题思路：

  1. 总情况数：四个不同的球排列成一行，总共有$4! = 24$种等可能情况。
  2. 事件（1）：需明确“自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4”的具体含义，即正序和逆序两种情况。
  3. 事件（2）：需计算1号球在最左或最右的位置数，再乘以剩余球的排列数，注意“或”对应加法原则。

第（1）题

总情况数

四个球排列方式总数为：
$A_4^4 = 4! = 24$

有利情况数

满足条件的排列有两种：

  1. 正序排列：1,2,3,4
  2. 逆序排列：4,3,2,1

因此，有利情况数为$2$种。

概率计算

概率为：
$\frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

第（2）题

总情况数

同上，总排列数为$24$种。

有利情况数

  1. 位置选择：1号球可选最左或最右，共$2$种选择，即：
    $C_2^1 = 2$
  2. 剩余排列：剩下的3个球在剩余3个位置中排列，方式数为：
    $A_3^3 = 3! = 6$
  3. 总有利情况数：
    $C_2^1 \cdot A_3^3 = 2 \times 6 = 12$

概率计算

概率为：
$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$