题目
均质圆柱体的质量为m,半径为r,放在倾角为60°的斜面上,一细绳缠绕在圆柱-|||-体上,其一端固定于点A,此绳和A相连部分与斜面平行,如图所示。如圆柱体与斜面间的动-|||-摩擦因数为 =dfrac (1)(3), 求圆柱体质心的加速度。 A-|||-?-|||-C-|||-B-|||-mg 、 60°
题目解答
答案
解析
步骤 1：受力分析
对圆柱体进行受力分析，圆柱体受到重力 $mg$、斜面支持力 $F_N$、绳子拉力 $F_T$、摩擦力 $F_r$。其中，重力可以分解为沿斜面方向的分力 $mg\sin{60^\circ}$ 和垂直于斜面方向的分力 $mg\cos{60^\circ}$。摩擦力 $F_r$ 与支持力 $F_N$ 成正比，即 $F_r = fF_N$，其中 $f$ 是动摩擦因数。
步骤 2：建立动力学方程
根据牛顿第二定律，沿斜面方向的合力等于圆柱体质心的加速度乘以质量，即 $mg\sin{60^\circ} - F_r - F_T = ma_c$。垂直于斜面方向的合力为零，即 $F_N - mg\cos{60^\circ} = 0$。根据平行轴定理，圆柱体绕质心的转动惯量为 $I = \frac{1}{2}mr^2$。根据动量矩定理，圆柱体绕质心的转动惯量乘以角加速度等于绳子拉力乘以半径减去摩擦力乘以半径，即 $I\alpha = F_T r - F_r r$。由于圆柱体既滚又滑，质心加速度 $a_c$ 与角加速度 $\alpha$ 之间的关系为 $a_c = \alpha r$。
步骤 3：求解质心加速度
将 $F_r = fF_N$ 代入垂直于斜面方向的合力为零的方程，得到 $F_N = mg\cos{60^\circ}$。将 $F_r = fF_N$ 代入沿斜面方向的合力等于圆柱体质心的加速度乘以质量的方程，得到 $mg\sin{60^\circ} - fF_N - F_T = ma_c$。将 $F_N = mg\cos{60^\circ}$ 代入上式，得到 $mg\sin{60^\circ} - fmg\cos{60^\circ} - F_T = ma_c$。将 $F_r = fF_N$ 代入动量矩定理的方程，得到 $I\alpha = F_T r - fF_N r$。将 $I = \frac{1}{2}mr^2$ 和 $F_N = mg\cos{60^\circ}$ 代入上式，得到 $\frac{1}{2}mr^2\alpha = F_T r - fmg\cos{60^\circ} r$。将 $a_c = \alpha r$ 代入上式，得到 $\frac{1}{2}ma_c r = F_T - fmg\cos{60^\circ}$。联立上述两个方程，解得 $a_c = \frac{3\sqrt{3} - 2}{9}g$。
对圆柱体进行受力分析，圆柱体受到重力 $mg$、斜面支持力 $F_N$、绳子拉力 $F_T$、摩擦力 $F_r$。其中，重力可以分解为沿斜面方向的分力 $mg\sin{60^\circ}$ 和垂直于斜面方向的分力 $mg\cos{60^\circ}$。摩擦力 $F_r$ 与支持力 $F_N$ 成正比，即 $F_r = fF_N$，其中 $f$ 是动摩擦因数。
步骤 2：建立动力学方程
根据牛顿第二定律，沿斜面方向的合力等于圆柱体质心的加速度乘以质量，即 $mg\sin{60^\circ} - F_r - F_T = ma_c$。垂直于斜面方向的合力为零，即 $F_N - mg\cos{60^\circ} = 0$。根据平行轴定理，圆柱体绕质心的转动惯量为 $I = \frac{1}{2}mr^2$。根据动量矩定理，圆柱体绕质心的转动惯量乘以角加速度等于绳子拉力乘以半径减去摩擦力乘以半径，即 $I\alpha = F_T r - F_r r$。由于圆柱体既滚又滑，质心加速度 $a_c$ 与角加速度 $\alpha$ 之间的关系为 $a_c = \alpha r$。
步骤 3：求解质心加速度
将 $F_r = fF_N$ 代入垂直于斜面方向的合力为零的方程，得到 $F_N = mg\cos{60^\circ}$。将 $F_r = fF_N$ 代入沿斜面方向的合力等于圆柱体质心的加速度乘以质量的方程，得到 $mg\sin{60^\circ} - fF_N - F_T = ma_c$。将 $F_N = mg\cos{60^\circ}$ 代入上式，得到 $mg\sin{60^\circ} - fmg\cos{60^\circ} - F_T = ma_c$。将 $F_r = fF_N$ 代入动量矩定理的方程，得到 $I\alpha = F_T r - fF_N r$。将 $I = \frac{1}{2}mr^2$ 和 $F_N = mg\cos{60^\circ}$ 代入上式，得到 $\frac{1}{2}mr^2\alpha = F_T r - fmg\cos{60^\circ} r$。将 $a_c = \alpha r$ 代入上式，得到 $\frac{1}{2}ma_c r = F_T - fmg\cos{60^\circ}$。联立上述两个方程，解得 $a_c = \frac{3\sqrt{3} - 2}{9}g$。