题目
练习 已知某种纱的强力服从N(1.56,0.22²)（单位：千克）今抽取容量为n=50的样本，求样本均值小于1.45千克的概率
练习 已知某种纱的强力服从N(1.56,0.22²)（单位：千克）今抽取容量为n=50的样本，求样本均值小于1.45千克的概率
题目解答
答案
为了求解样本均值小于1.45千克的概率，我们需要使用正态分布的性质和中心极限定理。下面将分步骤进行解答。
1. **确定总体分布和样本均值的分布：**
- 总体服从正态分布 $ N(1.56, 0.22^2) $。
- 样本容量 $ n = 50 $。
- 样本均值 $ \bar{X} $ 也服从正态分布，其均值为总体均值 $ \mu = 1.56 $，方差为总体方差除以样本容量 $ \sigma^2 / n = 0.22^2 / 50 $。
2. **计算样本均值的方差：**
\[
\text{样本均值的方差} = \frac{0.22^2}{50} = \frac{0.0484}{50} = 0.000968
\]
\[
\text{样本均值的标准差} = \sqrt{0.000968} \approx 0.0311
\]
3. **将样本均值小于1.45千克的概率转换为标准正态分布的概率：**
\[
P(\bar{X} < 1.45) = P\left( \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} < \frac{1.45 - 1.56}{0.0311} \right)
\]
\[
P(\bar{X} < 1.45) = P\left( Z < \frac{1.45 - 1.56}{0.0311} \right)
\]
\[
P(\bar{X} < 1.45) = P\left( Z < \frac{-0.11}{0.0311} \right)
\]
\[
P(\bar{X} < 1.45) = P(Z < -3.537)
\]
4. **使用标准正态分布表或计算器求解 $ P(Z < -3.537) $：**
- 标准正态分布表中， $ P(Z < -3.537) $ 的值非常接近0，因为-3.537是一个非常小的值，位于标准正态分布的最左侧。
\[
P(Z < -3.537) \approx 0
\]
5. **结论：**
\[
\boxed{0.0002}
\]
由于 $ P(Z < -3.537) $ 的值非常小，可以近似为0.0002。因此，样本均值小于1.45千克的概率为 $\boxed{0.0002}$。
解析
本题考查正态分布的性质以及中心极限定理的应用，解题思路是先根据总体分布和样本容量确定样本均值的分布，再将样本均值的概率问题转化为标准正态分布的概率问题，最后通过标准正态分布表或计算器求解概率。
- 确定总体分布和样本均值的分布：
- 已知总体服从正态分布\\(N(1.56, 0.22^2)\)，即总体均值$\mu = 1.56$，总体方差$\sigma^2 = 0.22^2$。
- 样本容量$n = 50$。
- 根据中心极限定理，样本均值$\bar{X}$服从正态分布，其均值为总体均值$\mu = = 1.56$，方差为总体方差除以样本容量$\frac{\sigma^2}{n}=\frac{0.222^2}{50}$。
- 计算样本均值的方差和标准差：
-
- 样本均值的方差为$\frac{0.22^2}{50}=\frac{0.0484}{50} = 0.0000968$。
- 样本均值的标准差为$\sqrt{0.000968}\approx0.0311$。
-
- 将样本均值小于$1.45$千克的概率转换为标准正态分布的概率：
- 设$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，则$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
- $P(\bar{X}<1.45)=P\left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}<\frac{1.45 - 1.56}{0.0311}\right)$。
- 即$P(\bar{X}<1.45)=P\left(Z<\lt\frac{1.45 - 1.56}{0.0311}\right)=P\left(Z\lt\frac{-0.11}{0.0311}\right)=P(Z < -3.537)$。
- 使用标准正态分布表或计算器求解$P(Z < -3.537)$：
- 通过标准正态分布表或计算器可得$P(Z < -3.537)\approx0.0002$。