设总体 X 服从区间 [theta, 4theta] 上的均匀分布 (theta > 0)，x_1, x_2, ldots, x_n 为来自 X 的样本，overline(x) 为样本均值，则 E(overline(x))=A. 5thetaB. 3thetaC. (5)/(2)thetaD. (3)/(2)theta

考查要点：本题主要考查均匀分布的期望计算以及样本均值的期望性质。

解题核心思路：

1. 均匀分布的期望公式：对于区间 $[a, b]$ 上的均匀分布，期望为 $\frac{a + b}{2}$。
2. 样本均值的期望性质：样本均值 $\overline{x}$ 的期望等于总体均值，即 $E(\overline{x}) = E(X)$。

破题关键点：

• 明确总体 $X$ 的区间为 $[\theta, 4\theta]$，代入均匀分布的期望公式。
• 利用样本均值的无偏性直接得出结果。

1. 计算总体 $X$ 的期望
   均匀分布 $X \sim U[\theta, 4\theta]$ 的期望为：
   $E(X) = \frac{\theta + 4\theta}{2} = \frac{5\theta}{2}.$

2. 推导样本均值的期望
   样本均值 $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$，根据期望的线性性质：
   $E(\overline{x}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E(x_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot E(X) = E(X).$
   因此，$E(\overline{x}) = \frac{5\theta}{2}$。