题目
(3). 设 X_1 ,X_2 ,mbox( )... ,X_n 是来自总体 N(mu ,mbox( )sigma^2) 的样本， bar (X)=(1)/(n)sumlimits_(i-1)^n (X_i ) ,mbox( )S_n^2=(1)/(n-1)sumlimits_(i-1)^n ((X_i -bar {X))^2}，则以下结论中错误的是（ ）。A. bar (X) 与 S_n^2 独立B. (bar (X)-mu )/(sigma )sim N(0,1) C. (n-1)/(sigma ^2)S_n^2 sim X^2(n-1) D. (sqrt n (bar(X)-mu ))/(S_n )sim t(n-1)
(3). 设 $ X_1 ,X_2 ,\mbox{ }\cdots ,X_n $ 是来自总体 $ N(\mu ,\mbox{ }\sigma^2) $ 的样本，$ \bar {X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i-1}^n {X_i } ,\mbox{ }S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i-1}^n {(X_i -\bar {X})^2}$，则以下结论中错误的是（ ）。
A. $ \bar {X} $ 与 $ S_n^2 $ 独立
B. $ \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma }\sim N(0,1) $
C. $ \frac{n-1}{\sigma ^2}S_n^2 \sim X^2(n-1) $
D. $ \frac{\sqrt n (\bar{X}-\mu )}{S_n }\sim t(n-1) $
题目解答
答案
B. $ \frac{\bar {X}-\mu }{\sigma }\sim N(0,1) $
解析
步骤 1：理解样本均值和样本方差的性质
样本均值 $\bar{X}$ 和样本方差 $S_n^2$ 是从正态分布总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 中抽取的样本的统计量。根据中心极限定理，样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。样本方差 $S_n^2$ 是无偏估计量，其分布与卡方分布相关。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 说明 $\bar{X}$ 与 $S_n^2$ 独立。根据统计学理论，当样本来自正态分布时，样本均值 $\bar{X}$ 与样本方差 $S_n^2$ 独立。因此，选项 A 是正确的。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 说明 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。根据中心极限定理，样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，因此 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。选项 B 中的表达式缺少 $\sqrt{n}$，因此选项 B 是错误的。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 说明 $\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。根据卡方分布的定义，当样本来自正态分布时，$(n-1)S_n^2/\sigma^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。因此，选项 C 是正确的。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 说明 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S_n} \sim t(n-1)$。根据 t 分布的定义，当样本来自正态分布时，$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S_n}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。因此，选项 D 是正确的。
样本均值 $\bar{X}$ 和样本方差 $S_n^2$ 是从正态分布总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 中抽取的样本的统计量。根据中心极限定理，样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。样本方差 $S_n^2$ 是无偏估计量，其分布与卡方分布相关。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 说明 $\bar{X}$ 与 $S_n^2$ 独立。根据统计学理论，当样本来自正态分布时，样本均值 $\bar{X}$ 与样本方差 $S_n^2$ 独立。因此，选项 A 是正确的。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 说明 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。根据中心极限定理，样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，因此 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。选项 B 中的表达式缺少 $\sqrt{n}$，因此选项 B 是错误的。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 说明 $\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。根据卡方分布的定义，当样本来自正态分布时，$(n-1)S_n^2/\sigma^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。因此，选项 C 是正确的。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 说明 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S_n} \sim t(n-1)$。根据 t 分布的定义，当样本来自正态分布时，$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S_n}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。因此，选项 D 是正确的。