题目
设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(108)独立且都是区间_(1),(X)_(2),... ,(X)_(108)上的均匀分布,则_(1),(X)_(2),... ,(X)_(108)近似地服从( )A._(1),(X)_(2),... ,(X)_(108)B._(1),(X)_(2),... ,(X)_(108)C._(1),(X)_(2),... ,(X)_(108)D._(1),(X)_(2),... ,(X)_(108)
设
独立且都是区间
上的均匀分布,则
近似地服从( )
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
解：
∵
∴
∴由大数定律可得当
时，
∵
,
∴
故本题选D.
解析
步骤 1：确定每个随机变量的期望和方差
由于每个${X}_{i}$都是区间(0,4)上的均匀分布，根据均匀分布的性质，我们有：
$E({X}_{i})=\dfrac {a+b}{2}=\dfrac {0+4}{2}=2$
$D({X}_{i})=\dfrac {{(b-a)}^{2}}{12}=\dfrac {{(4-0)}^{2}}{12}=\dfrac {4}{3}$
步骤 2：计算总和的期望和方差
由于${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{108}$是独立的，我们有：
$E(\sum _{i=1}^{108}{X}_{i})=\sum _{i=1}^{108}E({X}_{i})=108\times 2=216$
$D(\sum _{i=1}^{108}{X}_{i})=\sum _{i=1}^{108}D({X}_{i})=108\times \dfrac {4}{3}=144$
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当$n$足够大时，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(n\mu ,n{\sigma }^{2})$，其中$\mu$和${\sigma }^{2}$分别是单个随机变量的期望和方差。因此，$\sum _{i=1}^{108}{X}_{i}$近似服从$N(216,144)$。
由于每个${X}_{i}$都是区间(0,4)上的均匀分布，根据均匀分布的性质，我们有：
$E({X}_{i})=\dfrac {a+b}{2}=\dfrac {0+4}{2}=2$
$D({X}_{i})=\dfrac {{(b-a)}^{2}}{12}=\dfrac {{(4-0)}^{2}}{12}=\dfrac {4}{3}$
步骤 2：计算总和的期望和方差
由于${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{108}$是独立的，我们有：
$E(\sum _{i=1}^{108}{X}_{i})=\sum _{i=1}^{108}E({X}_{i})=108\times 2=216$
$D(\sum _{i=1}^{108}{X}_{i})=\sum _{i=1}^{108}D({X}_{i})=108\times \dfrac {4}{3}=144$
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当$n$足够大时，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(n\mu ,n{\sigma }^{2})$，其中$\mu$和${\sigma }^{2}$分别是单个随机变量的期望和方差。因此，$\sum _{i=1}^{108}{X}_{i}$近似服从$N(216,144)$。