题目

6.1 证明(6.2.1)和(6.2.2)式.6.2 设X_(1),X_(2),...,X_(n)为抽自均值为μ、方差为σ²的总体的样本，overline(X)为样本均值.证明E(overline(X))=mu，Var(overline(X))=sigma^2/n.

6.1 证明(6.2.1)和(6.2.2)式. 6.2 设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为抽自均值为μ、方差为σ²的总体的样本，$\overline{X}$为样本均值.证明$E(\overline{X})=\mu$，$Var(\overline{X})=\sigma^{2}/n$.

题目解答

答案

样本均值 $\overline{X}$ 定义为 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其中 $X_i$ 为均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的样本。 **步骤1：计算期望** 利用期望的线性性质： \[ E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \mu = \mu \] **步骤2：计算方差** 利用方差性质 $Var(aX) = a^2 Var(X)$： \[ Var(\overline{X}) = Var\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n Var(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} \] **结论** \[ \boxed{E(\overline{X}) = \mu, \quad Var(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}} \]

解析

考查要点：本题主要考查样本均值的期望与方差的计算，需要掌握期望的线性性质和方差的性质，并理解独立同分布假设对计算的影响。

解题核心思路：

期望计算：利用期望的线性性质，将样本均值分解为各观测值的线性组合，直接计算期望。
方差计算：利用方差的性质，结合独立同分布假设下协方差为零的特点，计算方差。

破题关键点：

明确样本均值的定义：$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。
独立同分布假设：样本之间相互独立，方差可加。

证明 $E(\overline{X}) = \mu$

根据样本均值的定义

样本均值为：
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

应用期望的线性性质

期望的线性性质表明：
$E\left( \sum_{i=1}^n a_i X_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i E(X_i)$
因此：
$E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)$

代入各观测值的期望

由于每个 $X_i$ 均来自均值为 $\mu$ 的总体：
$E(X_i) = \mu \quad \text{对所有 } i=1,2,\dots,n$
因此：
$E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \cdot n \mu = \mu$

证明 $Var(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$

应用方差的性质

方差对常数的平方性质为：
$Var(aX) = a^2 Var(X)$
因此：
$Var(\overline{X}) = Var\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} Var\left( \sum_{i=1}^n X_i \right)$

利用独立同分布假设

若 $X_i$ 独立，则协方差为零，方差可加：
$Var\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n Var(X_i)$
由于每个 $X_i$ 的方差为 $\sigma^2$：
$\sum_{i=1}^n Var(X_i) = n \sigma^2$

代入计算

$Var(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$