题目
6.设总体X服从参数为 lambda (lambda gt 0) 的Poisson分布,X1,X2,···,Xn为来自总体X的-|||-一个简单随机样本,求:-|||-(I)(X1,X2,···,Xn)的联合分布律;-|||-(Ⅱ) overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i) 的分布律。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求联合分布律
由于X1,X2,···,Xn是来自总体X的简单随机样本，且X服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布，因此每个Xi独立地服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布。Poisson分布的概率质量函数为：
$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
对于随机样本X1,X2,···,Xn，它们的联合分布律为：
$$P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i = x_i)$$
由于每个Xi独立地服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布，因此：
$$P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}$$
$$= \frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n} x_i} e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^{n} x_i!}$$
步骤 2：求 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的分布律
由于X1,X2,···,Xn是来自总体X的简单随机样本，且X服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布，因此 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 服从参数为 $n\lambda$ 的Poisson分布。Poisson分布的概率质量函数为：
$$P(\overline {X} = k) = \frac{(n\lambda)^k e^{-n\lambda}}{k!}$$
由于X1,X2,···,Xn是来自总体X的简单随机样本，且X服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布，因此每个Xi独立地服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布。Poisson分布的概率质量函数为：
$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
对于随机样本X1,X2,···,Xn，它们的联合分布律为：
$$P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i = x_i)$$
由于每个Xi独立地服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布，因此：
$$P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \cdots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}$$
$$= \frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n} x_i} e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^{n} x_i!}$$
步骤 2：求 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的分布律
由于X1,X2,···,Xn是来自总体X的简单随机样本，且X服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布，因此 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 服从参数为 $n\lambda$ 的Poisson分布。Poisson分布的概率质量函数为：
$$P(\overline {X} = k) = \frac{(n\lambda)^k e^{-n\lambda}}{k!}$$