4.设随机变量 sim N(1,9) , sim N(0,16) ,相关系数 (rho )_(xy)=-dfrac (1)(2) ,设-|||-.=dfrac (X)(3)+dfrac (Y)(2) 。求:(1)随机变量Z的期望E(Z)与方差D (Z) ;(2)随-|||-机变量X与Z的相关系数ρxz。

步骤 1：计算随机变量Z的期望E(Z)
根据线性变换的性质，对于随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有 $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$。因此，对于 $Z=\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2}$，我们有：
$$E(Z)=E\left(\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2}\right)=\dfrac {1}{3}E(X)+\dfrac {1}{2}E(Y)$$
由于 $X\sim N(1,9)$ 和 $Y\sim N(0,16)$，我们有 $E(X)=1$ 和 $E(Y)=0$。因此：
$$E(Z)=\dfrac {1}{3}\times 1+\dfrac {1}{2}\times 0=\dfrac {1}{3}$$

步骤 2：计算随机变量Z的方差D(Z)
根据方差的性质，对于随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有 $D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)$。因此，对于 $Z=\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2}$，我们有：
$$D(Z)=D\left(\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2}\right)=\left(\dfrac {1}{3}\right)^2D(X)+\left(\dfrac {1}{2}\right)^2D(Y)+2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}Cov(X,Y)$$
由于 $X\sim N(1,9)$ 和 $Y\sim N(0,16)$，我们有 $D(X)=9$ 和 $D(Y)=16$。相关系数 ${\rho }_{xy}=-\dfrac {1}{2}$，因此 $Cov(X,Y)={\rho }_{xy}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=-\dfrac {1}{2}\times 3\times 4=-6$。因此：
$$D(Z)=\left(\dfrac {1}{3}\right)^2\times 9+\left(\dfrac {1}{2}\right)^2\times 16+2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}\times (-6)=1+4-2=3$$

步骤 3：计算随机变量X与Z的相关系数ρxz
根据相关系数的定义，我们有：
$$\rho_{xz}=\dfrac{Cov(X,Z)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Z)}}$$
其中，$Cov(X,Z)=Cov(X,\dfrac {X}{3}+\dfrac {Y}{2})=\dfrac {1}{3}D(X)+\dfrac {1}{2}Cov(X,Y)$。因此：
$$Cov(X,Z)=\dfrac {1}{3}\times 9+\dfrac {1}{2}\times (-6)=3-3=0$$
因此，$\rho_{xz}=\dfrac{0}{\sqrt{9}\sqrt{3}}=0$。