题目
9、若随机变量 sim N(-2,4) , sim N(3,9) ,且X与Y相互独立。设 =2x-y+5 ,则 sim N(-2,25) ___
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $X$ 和 $Y$ 的分布参数
给定 $X\sim N(-2,4)$ 和 $Y\sim N(3,9)$，其中 $-2$ 和 $3$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的均值，$4$ 和 $9$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。
步骤 2：计算 $Z$ 的均值
$Z = 2X - Y + 5$，根据线性变换的性质，$Z$ 的均值为：
$$
E(Z) = E(2X - Y + 5) = 2E(X) - E(Y) + 5 = 2(-2) - 3 + 5 = -4 - 3 + 5 = -2
$$
步骤 3：计算 $Z$ 的方差
$Z$ 的方差为：
$$
Var(Z) = Var(2X - Y + 5) = Var(2X) + Var(-Y) = 4Var(X) + Var(Y) = 4(4) + 9 = 16 + 9 = 25
$$
这里使用了方差的性质：$Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$X$ 和 $Y$ 是独立的随机变量。
给定 $X\sim N(-2,4)$ 和 $Y\sim N(3,9)$，其中 $-2$ 和 $3$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的均值，$4$ 和 $9$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。
步骤 2：计算 $Z$ 的均值
$Z = 2X - Y + 5$，根据线性变换的性质，$Z$ 的均值为：
$$
E(Z) = E(2X - Y + 5) = 2E(X) - E(Y) + 5 = 2(-2) - 3 + 5 = -4 - 3 + 5 = -2
$$
步骤 3：计算 $Z$ 的方差
$Z$ 的方差为：
$$
Var(Z) = Var(2X - Y + 5) = Var(2X) + Var(-Y) = 4Var(X) + Var(Y) = 4(4) + 9 = 16 + 9 = 25
$$
这里使用了方差的性质：$Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$X$ 和 $Y$ 是独立的随机变量。