14.已知函数f(t)=int_(1)^t^(2)dxint_(sqrt(x))^tsin(x)/(y)dy,则f'((pi)/(2))=____.

本题考查变上限积分函数的求导以及二重积分交换积分次序的知识。解题的关键思路是先通过交换积分次序简化函数形式，再利用莱布尼茨法则对变上限积分函数求导，最后代入给定的值计算结果。

1. 交换积分次序：
   • 已知函数$f(t)=\int_{1}^{t^{2}}dx\int_{\sqrt{x}}^{t}\sin\frac{x}{y}dy$，积分区域$D$由$x = 1$，$x = t^2$，$y=\sqrt{x}$（即$x = y^2$），$y = t$所围成。
   • 交换积分次序后，先对$x$积分，再对$y$积分，此时积分区域$D$可表示为$1\leqslant y\leqslant t$，$1\leqslant x\leqslant y^2$，所以$f(t)=\int_{1}^{t}dy\int_{1}^{y^{2}}\sin\frac{x}{y}dx$。
2. 对$f(t)$求导：
   • 对于变上限积分函数$f(t)=\int_{a(t)}^{b(t)}g(x,t)dx$，根据莱布尼茨法则$f^\prime(t)=g(b(t),t)\cdot b^\prime(t)-g(a(t),t)\cdot a^\prime(t)+\int_{a(t)}^{b(t)}\frac{\partial g(x,t)}{\partial t}dx$。
   • 在$f(t)=\int_{1}^{t}dy\int_{1}^{y^{2}}\sin\frac{x}{y}dx$中，令$F(y)=\int_{1}^{y^{2}}\sin\frac{x}{y}dx$，则$f(t)=\int_{1}^{t}F(y)dy$。
   • 根据变上限积分求导公式$(\int_{a}^{t}F(y)dy)^\prime = F(t)$，这里$F(t)=\int_{1}^{t^{2}}\sin\frac{x}{t}dx$，所以$f^\prime(t)=\int_{1}^{t^{2}}\sin\frac{x}{t}dx$。
3. 代入$t = \frac{\pi}{2}$计算$f^\prime(\frac{\pi}{2})$：
   • 当$t=\frac{\pi}{2}$时，$f^\prime(\frac{\pi}{2})=\int_{1}^{\frac{\pi^{2}}{4}}\sin(\frac{2x}{\pi})dx$。
   • 计算积分$\int_{1}^{\frac{\pi^{2}}{4}}\sin(\frac{2x}{\pi})dx$，令$u = \frac{2x}{\pi}$，则$du=\frac{2}{\pi}dx$，$dx=\frac{\pi}{2}du$。
   • 当$x = 1$时，$u=\frac{2}{\pi}$；当$x=\frac{\pi^{2}}{4}$时，$u = \frac{\pi}{2}$。
   • 则$\int_{1}^{\frac{\pi^{2}}{4}}\sin(\frac{2x}{\pi})dx=\frac{\pi}{2}\int_{\frac{2}{\pi}}^{\frac{\pi}{2}}\sin udu$。
   • 根据积分公式$\int\sin udu=-\cos u + C$，可得$\frac{\pi}{2}\int_{\frac{2}{\pi}}^{\frac{\pi}{2}}\sin udu=\frac{\pi}{2}[-\cos u]_{\frac{2}{\pi}}^{\frac{\pi}{2}}$。
   • 计算$\frac{\pi}{2}[-\cos u]_{\frac{2}{\pi}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}(0+\cos\frac{2}{\pi})=\frac{\pi}{2}\cos\frac{2}{\pi}$。