【例214】【2007-2-4分】函数f(x)=((e^frac(1)/(x)+e)tan x)(x(e^(1)/(x)-e))在[-π,π]上的第一类间断点是x=（）A. 0B. 1C. -(pi)/(2)D. (pi)/(2)

考查要点：本题主要考查函数间断点的分类，特别是第一类间断点的判断。需要结合分母为零、分子分母的极限行为，分析左右极限是否存在且相等。

解题核心思路：

1. 确定函数无定义的点：分母为零或分母/分子中的函数无定义（如$\tan x$的无定义点）。
2. 分类讨论各点的间断类型：
   • 第二类间断点：若极限不存在（如趋于无穷大或振荡）。
   • 第一类间断点：若左右极限存在但不相等（跳跃间断点）或相等（可去间断点）。

破题关键点：

• 排除明显第二类间断点：$\tan x$在$x = \pm \frac{\pi}{2}$处无定义且极限趋于无穷大。
• 分析$x=0$处的极限：通过变量代换或泰勒展开，计算左右极限，判断是否相等。

步骤1：确定函数无定义的点

1. 分母为零：
   • $x = 0$（分母中的$x$项）。
   • $e^{\frac{1}{x}} - e = 0 \Rightarrow x = 1$。
2. 分子中的$\tan x$无定义：
   • $x = \pm \frac{\pi}{2}$（在区间$[-\pi, \pi]$内）。

步骤2：分析各点的间断类型

$x = \pm \frac{\pi}{2}$

• $\tan x$在这些点无定义，且极限趋于无穷大，属于第二类间断点。

$x = 1$

• 分母为零，但分子在$x=1$时值为$2e \tan 1 \neq 0$，故极限趋于无穷大，属于第二类间断点。

$x = 0$

• 计算左右极限：
  • 当$x \to 0^+$：
    • 令$t = \frac{1}{x} \to +\infty$，分子$\sim e^t \cdot x$，分母$\sim x \cdot e^t$，化简后极限为$1$。
  • 当$x \to 0^-$：
    • 令$t = \frac{1}{x} \to -\infty$，分子$\sim e^t \cdot x$，分母$\sim x \cdot (-e)$，化简后极限为$-1$。
• 结论：左右极限存在但不相等，属于第一类间断点（跳跃间断点）。