4.设随机变量 sim N(1,9) , sim N(0,16) ,相关系数 (rho )_(xy)=-dfrac (1)(2) ,设-|||-.=dfrac (X)(3)+dfrac (Y)(2) 。求:(1)随机变量Z的期望E(Z)与方差D (Z) ;(2)随-|||-机变量X与Z的相关系数ρxz。

步骤 1：计算随机变量Z的期望E(Z)
根据期望的线性性质，我们有：
$E(Z) = E(\dfrac{X}{3} + \dfrac{Y}{2}) = \dfrac{1}{3}E(X) + \dfrac{1}{2}E(Y)$
由于$X\sim N(1,9)$，$Y\sim N(0,16)$，所以$E(X) = 1$，$E(Y) = 0$。
代入上述公式，得到：
$E(Z) = \dfrac{1}{3} \times 1 + \dfrac{1}{2} \times 0 = \dfrac{1}{3}$

步骤 2：计算随机变量Z的方差D(Z)
根据方差的性质，我们有：
$D(Z) = D(\dfrac{X}{3} + \dfrac{Y}{2}) = (\dfrac{1}{3})^2D(X) + (\dfrac{1}{2})^2D(Y) + 2 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \sqrt{D(X)} \times \sqrt{D(Y)} \times \rho_{xy}$
由于$X\sim N(1,9)$，$Y\sim N(0,16)$，所以$D(X) = 9$，$D(Y) = 16$，$\rho_{xy} = -\dfrac{1}{2}$。
代入上述公式，得到：
$D(Z) = (\dfrac{1}{3})^2 \times 9 + (\dfrac{1}{2})^2 \times 16 + 2 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 \times (-\dfrac{1}{2})$
$= 1 + 4 - 2 = 3$

步骤 3：计算随机变量X与Z的相关系数$\rho_{xz}$
根据相关系数的定义，我们有：
$\rho_{xz} = \dfrac{Cov(X,Z)}{\sqrt{D(X)} \times \sqrt{D(Z)}}$
其中，$Cov(X,Z) = Cov(X, \dfrac{X}{3} + \dfrac{Y}{2}) = \dfrac{1}{3}Cov(X,X) + \dfrac{1}{2}Cov(X,Y)$
由于$Cov(X,X) = D(X) = 9$，$Cov(X,Y) = \rho_{xy} \times \sqrt{D(X)} \times \sqrt{D(Y)} = -\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = -6$。
代入上述公式，得到：
$Cov(X,Z) = \dfrac{1}{3} \times 9 + \dfrac{1}{2} \times (-6) = 3 - 3 = 0$
因此，$\rho_{xz} = \dfrac{0}{\sqrt{9} \times \sqrt{3}} = 0$