题目
【15】求原点到曲线{}z=x^2+y^2x+2y+z=1.的最长距离和最短距离。
【15】求原点到曲线$\left\{\begin{matrix}z=x^{2}+y^{2}\\x+2y+z=1\end{matrix}\right.$的最长距离和最短距离。
题目解答
答案
将 $z = x^2 + y^2$ 代入第二个方程得：
\[x + 2y + x^2 + y^2 = 1.\]
化简得：
\[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \frac{9}{4}.\]
此为圆心为 $\left(-\frac{1}{2}, -1\right)$、半径为 $\frac{3}{2}$ 的圆。
设 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，则距离 $d = r\sqrt{1 + r^2}$。
圆心到原点距离为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，故 $r$ 的范围为 $\left[\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right]$。
计算得最短距离为 $\sqrt{27 - 12\sqrt{5}}$，最长距离为 $\sqrt{27 + 12\sqrt{5}}$。
**答案：**
最短距离：$\boxed{\sqrt{27 - 12\sqrt{5}}}$
最长距离：$\boxed{\sqrt{27 + 12\sqrt{5}}}$
解析
步骤 1：代入消元
将 $z = x^2 + y^2$ 代入第二个方程 $x + 2y + z = 1$，得到：\[x + 2y + x^2 + y^2 = 1.\]
步骤 2：化简方程
化简上述方程，得到：\[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \frac{9}{4}.\]
步骤 3：确定圆的性质
此为圆心为 $\left(-\frac{1}{2}, -1\right)$、半径为 $\frac{3}{2}$ 的圆。
步骤 4：计算距离
设 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，则距离 $d = r\sqrt{1 + r^2}$。圆心到原点距离为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，故 $r$ 的范围为 $\left[\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right]$。
步骤 5：计算最短距离和最长距离
计算得最短距离为 $\sqrt{27 - 12\sqrt{5}}$，最长距离为 $\sqrt{27 + 12\sqrt{5}}$。
将 $z = x^2 + y^2$ 代入第二个方程 $x + 2y + z = 1$，得到：\[x + 2y + x^2 + y^2 = 1.\]
步骤 2：化简方程
化简上述方程，得到：\[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \frac{9}{4}.\]
步骤 3：确定圆的性质
此为圆心为 $\left(-\frac{1}{2}, -1\right)$、半径为 $\frac{3}{2}$ 的圆。
步骤 4：计算距离
设 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，则距离 $d = r\sqrt{1 + r^2}$。圆心到原点距离为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，故 $r$ 的范围为 $\left[\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right]$。
步骤 5：计算最短距离和最长距离
计算得最短距离为 $\sqrt{27 - 12\sqrt{5}}$，最长距离为 $\sqrt{27 + 12\sqrt{5}}$。