题目

4.2 设随机变量X服从正态分布N(1,2^2),求下列概率:-|||-(1) Xlt 2.2 ;-|||-(2) -1.6leqslant Xlt 5.8 ;-|||-(3) |X|leqslant 3.5 ;-|||-(4) |X|geqslant 4.56 .

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换、标准正态分布表的使用，以及绝对值概率的处理方法。

解题核心思路：

  1. 标准化变换：将任意正态分布转化为标准正态分布（均值为0，标准差为1），公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
  2. 区间概率计算：根据标准化后的Z值，利用标准正态分布表查对应概率，注意区间的开闭端点对结果无影响。
  3. 绝对值处理：将含绝对值的不等式转化为普通区间形式，如 $|X| \leq a$ 对应 $-a \leq X \leq a$，$|X| \geq a$ 对应 $X \leq -a$ 或 $X \geq a$。

破题关键点：

  • 正确计算Z值，避免符号错误。
  • 灵活处理绝对值，拆分区间后分别计算概率。
  • 准确查表，注意Z值的正负号和小数点后两位的精度。

第（1）题：$P(X < 2.2)$

  1. 标准化：
    $Z = \frac{2.2 - 1}{2} = 0.6$
  2. 查标准正态分布表：
    $Z=0.6$ 对应的概率为 $\Phi(0.6) = 0.7257$。

第（2）题：$P(-1.6 \leq X < 5.8)$

  1. 标准化两端点：
    • $Z_1 = \frac{-1.6 - 1}{2} = -1.3$
    • $Z_2 = \frac{5.8 - 1}{2} = 2.4$
  2. 计算区间概率：
    $\Phi(2.4) - \Phi(-1.3) = 0.9918 - 0.0968 = 0.8950$

第（3）题：$P(|X| \leq 3.5)$

  1. 转化为区间：
    $-3.5 \leq X \leq 3.5$
  2. 标准化两端点：
    • $Z_1 = \frac{-3.5 - 1}{2} = -2.25$
    • $Z_2 = \frac{3.5 - 1}{2} = 1.25$
  3. 计算区间概率：
    $\Phi(1.25) - \Phi(-2.25) = 0.8944 - 0.0122 = 0.8822$

第（4）题：$P(|X| \geq 4.56)$

  1. 转化为两个区间：
    $X \leq -4.56$ 或 $X \geq 4.56$
  2. 标准化两端点：
    • $Z_1 = \frac{-4.56 - 1}{2} = -2.78$
    • $Z_2 = \frac{4.56 - 1}{2} = 1.78$
  3. 计算两侧概率：
    $\Phi(-2.78) + [1 - \Phi(1.78)] = 0.0027 + 0.0375 = 0.0402$