题目
13.判断题(1分)设X_(1),X_(2),...,X_(n),...是一列独立的随机变量，都服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差EX_(i)=mu,DX_(i)=sigma^2>0(i=1,2,...)，则当n很大时，sum_(i=1)^nX_(i)sim N(nmu,nsigma^2).（）A. 对B. 错
13.判断题(1分)
设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$是一列独立的随机变量，都服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差$EX_{i}=\mu,DX_{i}=\sigma^{2}>0(i=1,2,\cdots)$，则当n很大时，$\sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim N(n\mu,n\sigma^{2})$.（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
中心极限定理是解决本题的核心。题目考查的是对独立同分布随机变量和的渐近分布的理解。关键点在于：
- 独立同分布且有限方差的条件下，当样本量$n$足够大时，样本和的标准化形式趋近于标准正态分布；
- 根据中心极限定理，$\sum_{i=1}^{n}X_i$的均值为$n\mu$，方差为$n\sigma^2$，因此其分布可近似为正态分布$N(n\mu, n\sigma^2)$。
根据中心极限定理：
- 标准化形式：$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$；
- 去标准化：将标准化形式还原为原变量的和，可得$\sum_{i=1}^{n}X_i \sim N(n\mu, n\sigma^2)$；
- 结论：题目中的正态分布参数正确，因此判断为正确。