题目
设样本_(1),(X)_(2),(X)_(3)来自于总体,总体均值mu未知,总体方差_(1),(X)_(2),(X)_(3)0)" data-width="94" data-height="27" data-size="1339" data-format="png" style="max-width:100%">已知,求证:_(1),(X)_(2),(X)_(3)都是_(1),(X)_(2),(X)_(3)的无偏估计量.
设样本
来自于总体,总体均值\mu未知,总体方差
0)" data-width="94" data-height="27" data-size="1339" data-format="png" style="max-width:100%">已知,求证:
都是
的无偏估计量.
题目解答
答案
无偏估计量的定义是：如果一个统计量的期望值等于被估计参数的真实值，那么我们就说这个统计量是这个参数的无偏估计量。
对于第一个统计量
，我们可以计算其期望值：
因此，
是的无偏估计量。
对于第二个统计量
，我们同样可以计算其期望值：
因此，
也是的无偏估计量。
所以，
都是的无偏估计量。这就完成了证明。所以，答案是对的。这两个统计量都是的无偏估计量。
解析
步骤 1：定义无偏估计量
无偏估计量的定义是：如果一个统计量的期望值等于被估计参数的真实值，那么我们就说这个统计量是这个参数的无偏估计量。
步骤 2：计算第一个统计量的期望值
对于第一个统计量$=\dfrac {1}{5}{X}_{1}+\dfrac {2}{5}{X}_{2}+\dfrac {2}{5}{X}_{3}$，我们可以计算其期望值：
$E(\dfrac {1}{5}{X}_{1}+\dfrac {2}{5}{X}_{2}+\dfrac {2}{5}{X}_{3}) = \dfrac {1}{5}E(X_{1})+\dfrac {2}{5}E(X_{2})+\dfrac {2}{5}E(X_{3})$
由于$X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$都是来自总体的样本，它们的期望值都是总体均值$\mu$，所以：
$E(\dfrac {1}{5}{X}_{1}+\dfrac {2}{5}{X}_{2}+\dfrac {2}{5}{X}_{3}) = \dfrac {1}{5}\mu+\dfrac {2}{5}\mu+\dfrac {2}{5}\mu = \mu$
因此，$=\dfrac {1}{5}{X}_{1}+\dfrac {2}{5}{X}_{2}+\dfrac {2}{5}{X}_{3}$是$\mu$的无偏估计量。
步骤 3：计算第二个统计量的期望值
对于第二个统计量$\overrightarrow {X}=\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})$，我们同样可以计算其期望值：
$E(\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})) = \dfrac {1}{3}E(X_{1})+\dfrac {1}{3}E(X_{2})+\dfrac {1}{3}E(X_{3})$
由于$X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$都是来自总体的样本，它们的期望值都是总体均值$\mu$，所以：
$E(\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})) = \dfrac {1}{3}\mu+\dfrac {1}{3}\mu+\dfrac {1}{3}\mu = \mu$
因此，$\overrightarrow {X}=\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})$也是$\mu$的无偏估计量。
无偏估计量的定义是：如果一个统计量的期望值等于被估计参数的真实值，那么我们就说这个统计量是这个参数的无偏估计量。
步骤 2：计算第一个统计量的期望值
对于第一个统计量$=\dfrac {1}{5}{X}_{1}+\dfrac {2}{5}{X}_{2}+\dfrac {2}{5}{X}_{3}$，我们可以计算其期望值：
$E(\dfrac {1}{5}{X}_{1}+\dfrac {2}{5}{X}_{2}+\dfrac {2}{5}{X}_{3}) = \dfrac {1}{5}E(X_{1})+\dfrac {2}{5}E(X_{2})+\dfrac {2}{5}E(X_{3})$
由于$X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$都是来自总体的样本，它们的期望值都是总体均值$\mu$，所以：
$E(\dfrac {1}{5}{X}_{1}+\dfrac {2}{5}{X}_{2}+\dfrac {2}{5}{X}_{3}) = \dfrac {1}{5}\mu+\dfrac {2}{5}\mu+\dfrac {2}{5}\mu = \mu$
因此，$=\dfrac {1}{5}{X}_{1}+\dfrac {2}{5}{X}_{2}+\dfrac {2}{5}{X}_{3}$是$\mu$的无偏估计量。
步骤 3：计算第二个统计量的期望值
对于第二个统计量$\overrightarrow {X}=\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})$，我们同样可以计算其期望值：
$E(\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})) = \dfrac {1}{3}E(X_{1})+\dfrac {1}{3}E(X_{2})+\dfrac {1}{3}E(X_{3})$
由于$X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$都是来自总体的样本，它们的期望值都是总体均值$\mu$，所以：
$E(\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})) = \dfrac {1}{3}\mu+\dfrac {1}{3}\mu+\dfrac {1}{3}\mu = \mu$
因此，$\overrightarrow {X}=\dfrac {1}{3}({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})$也是$\mu$的无偏估计量。