与矩阵1 1 1-|||-A= 0 2 2 2-|||-0 0 0相似的矩阵为 ( )。A、1 1 1-|||-A= 0 2 2 2-|||-0 0 0B、1 1 1-|||-A= 0 2 2 2-|||-0 0 0C、1 1 1-|||-A= 0 2 2 2-|||-0 0 0D、1 1 1-|||-A= 0 2 2 2-|||-0 0 0

考查要点：本题主要考查矩阵相似性的判定，核心在于特征值的比较。两个矩阵相似的必要条件是它们具有相同的特征值（包括代数重数）。

解题思路：

1. 计算矩阵A的特征值：通过求解特征方程$|\lambda E - A| = 0$，得到特征值。
2. 分析选项矩阵的特征值：逐一计算各选项矩阵的特征值，判断是否与矩阵A的特征值完全一致。
3. 排除错误选项：特征值不同的选项直接排除，特征值相同的即为正确答案。

破题关键：正确计算特征多项式并准确求解特征值，注意代数重数的匹配。

步骤1：计算矩阵A的特征值

矩阵$A$为：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\0 & 2 & 2 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
构造特征矩阵$\lambda E - A$：
$\lambda E - A = \begin{pmatrix}\lambda - 1 & -1 & -1 \\0 & \lambda - 2 & -2 \\0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}$
计算行列式$|\lambda E - A|$：
$\begin{vmatrix}\lambda - 1 & -1 & -1 \\0 & \lambda - 2 & -2 \\0 & 0 & \lambda\end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - 2)\lambda$
解得特征值为$\lambda = 1, 2, 0$。

步骤2：分析选项矩阵的特征值

• 选项A：特征值为$2, 2, 5$，与$A$不同，排除。
• 选项B：特征值不包含$1, 2, 0$，排除。
• 选项C：特征值为$1$（三重根），与$A$不同，排除。
• 选项D：特征值为$1, 2, 0$，与$A$完全一致。

步骤3：验证选项D的特征值

矩阵D为：
$D = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1\end{pmatrix}$
构造$\lambda E - D$：
$\lambda E - D = \begin{pmatrix}\lambda - 1 & 0 & 0 \\0 & \lambda - 1 & -1 \\0 & -1 & \lambda - 1\end{pmatrix}$
计算行列式：
$(\lambda - 1) \cdot \begin{vmatrix}\lambda - 1 & -1 \\-1 & \lambda - 1\end{vmatrix} = (\lambda - 1)[(\lambda - 1)^2 - 1] = (\lambda - 1)\lambda(\lambda - 2)$
特征值为$\lambda = 1, 2, 0$，与$A$相同。