设X1、X2、X3是3个随机变量,且 _(1)sim N(0,1) , _(2)sim N((0,{2)^2}) , _(3)sim N((0,{3)^2)} ,-|||-_(j)=P(-2leqslant xleqslant 2) ,=1,2,3 ,证明: _(1)gt (p)_(2)gt (p)_(3) -

本题主要考察正态分布的概率计算及标准正态分布函数的性质。核心思路是将不同均值为0、方差不同的正态分布随机变量转化为标准正态分布，再利用标准正态分布函数的单调性比较概率大小。

步骤1：标准正态分布转化

对于正态分布$X \sim N(0, \sigma^2)$，若要计算$P(-2 \leq X \leq 2)$，可通过标准化变换$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（此处$\mu=0$）转化为标准正态分布$Z \sim N(0,1)$，则：
$P(-2 \leq X \leq 2) = \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - \Phi\left(-\frac{2}{\sigma}\right)$
其中$\Phi(\cdot)$为标准正态分布的分布函数，且$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$，故上式可简化为：
$P(-2 \leq X \leq 2) = 2\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - 1$

步骤2：计算各$p_j$

• $X_1 \sim N(0,1)$：$\sigma_1=1$，则：
  $p_1 = 2\Phi\left(\frac{2}{1}\right) - 1 = 2\Phi(2) - 1$
• $X_2 \sim N(0,2^2)$：$\sigma_2=2$，则：
  $p_2 = 2\Phi\left(\frac{2}{2}\right) - 1 = 2\Phi(1) - 1$
• $X_3 \sim N(0,3^2)$：$\sigma_3=3$，则：
  $p_3 = 2\Phi\left(\frac{2}{3}\right) - 1$

步骤3：利用$\Phi(\cdot)$的单调性比较大小

标准正态分布函数$\Phi(z)$是严格单调递增函数，且：
$2 > 1 > \frac{2}{3}$
故：
$\Phi(2) > \Phi(1) > \Phi\left(\frac{2}{3}\right)$
从而：
$2\Phi(2) - 1 > 2\Phi(1) - 1 > 2\Phi\left(\frac{2}{3}\right) - 1$
即$p_1 > p_2 > p_3$。