题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，mu，sigma^2 为未知参数，X_1, X_2, ldots, X_n 为样本，则 mu 的置信水平为 1-alpha 的置信区间为()A. ( overline(X) - t_((alpha)/(2))(n-1) (S)/(sqrt(n)), overline(X) + t_((alpha)/(2))(n-1) (S)/(sqrt(n)) )B. ( ((n-1)S^2)/(chi^2_(frac{alpha){2)}(n-1)}, ((n-1)S^2)/(chi^2_(1-frac{alpha){2)}(n-1)} )C. ( overline(X) - u_((alpha)/(2)) (sigma)/(sqrt(n)), overline(X) + u_((alpha)/(2)) (sigma)/(sqrt(n)) )D. ( overline(X) - t_((alpha)/(2))(n) (S)/(sqrt(n)), overline(X) + t_((alpha)/(2))(n) (S)/(sqrt(n)) )

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$，$\sigma^2$ 为未知参数，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为样本，则 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为()

A. $\left( \overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$

B. $\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \right)$

C. $\left( \overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

D. $\left( \overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n) \frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n) \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$

题目解答

答案

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 未知。样本均值 $\bar{X}$ 和样本标准差 $S$ 分别为总体均值和标准差的估计量。
由于 $\sigma$ 未知，使用 t 分布构造 $\mu$ 的置信区间。t 统计量为：
$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$
对于置信水平 $1 - \alpha$，临界值 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 满足：
$P\left(-t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha$
解得 $\mu$ 的置信区间为：
$\left(\bar{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}\right)$
选项中，只有 A 项符合该形式。

答案： $\boxed{A}$