题目
14．一工厂生产的电子管寿命 X （以小时计算）服从期望值为 μ=160 的正态分布，若要求： P (120< X<200)≥0.80 ，允许标准差 σ 最大为多少？
14．一工厂生产的电子管寿命 X （以小时计算）服从期望值为 μ=160 的正态分布，若要求： P {120< X<200}≥0.80 ，允许标准差 σ 最大为多少？
题目解答
答案
解：P{120<200}=P( X<200)−P( X<120)=Φ0(200−160σ)−Φ0(120−160σ)=Φ0( 40σ )−Φ0( −40σ)=2Φ0(40σ )−1=0.80Φ0(40σ )=0.9040σ =1.28 σ=31.25 即允许的标准差最大为 31.25。
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
已知电子管寿命 X 服从期望值为 μ=160 的正态分布，即 X ~ N(160, σ^2)。其中，μ=160，σ^2 是未知的标准差的平方。
步骤 2：将概率问题转化为标准正态分布问题
要求 P{120 < X < 200} ≥ 0.80，即求解 P(120 < X < 200) = P(X < 200) - P(X < 120) ≥ 0.80。将 X 转换为标准正态分布 Z，其中 Z = (X - μ) / σ，即 Z ~ N(0, 1)。因此，P(120 < X < 200) = P((120 - 160) / σ < Z < (200 - 160) / σ) = P(-40 / σ < Z < 40 / σ)。
步骤 3：利用标准正态分布表求解
根据标准正态分布表，P(-40 / σ < Z < 40 / σ) = 2Φ(40 / σ) - 1，其中 Φ 是标准正态分布的累积分布函数。要求 2Φ(40 / σ) - 1 ≥ 0.80，即 Φ(40 / σ) ≥ 0.90。查标准正态分布表，Φ(1.28) ≈ 0.90，因此 40 / σ ≥ 1.28，解得 σ ≤ 40 / 1.28 = 31.25。
已知电子管寿命 X 服从期望值为 μ=160 的正态分布，即 X ~ N(160, σ^2)。其中，μ=160，σ^2 是未知的标准差的平方。
步骤 2：将概率问题转化为标准正态分布问题
要求 P{120 < X < 200} ≥ 0.80，即求解 P(120 < X < 200) = P(X < 200) - P(X < 120) ≥ 0.80。将 X 转换为标准正态分布 Z，其中 Z = (X - μ) / σ，即 Z ~ N(0, 1)。因此，P(120 < X < 200) = P((120 - 160) / σ < Z < (200 - 160) / σ) = P(-40 / σ < Z < 40 / σ)。
步骤 3：利用标准正态分布表求解
根据标准正态分布表，P(-40 / σ < Z < 40 / σ) = 2Φ(40 / σ) - 1，其中 Φ 是标准正态分布的累积分布函数。要求 2Φ(40 / σ) - 1 ≥ 0.80，即 Φ(40 / σ) ≥ 0.90。查标准正态分布表，Φ(1.28) ≈ 0.90，因此 40 / σ ≥ 1.28，解得 σ ≤ 40 / 1.28 = 31.25。