题目

设随机变量 (X,Y) 的方差 D(X)=4 ， D(Y)=1 ，相关系数 ρXY=0.6 ，则方差 D(3X−2Y)=() A. 40 B. 34 C. 25.6 D. 17.6

设随机变量 (X,Y) 的方差 D(X)=4 ， D(Y)=1 ，相关系数 ρXY=0.6 ，则方差 D(3X−2Y)=()

A. 40

B. 34

C. 25.6

D. 17.6

题目解答

答案

由题意可知，相关系数 ρXY=0.6

根据相关系数性质 ρXY=COV(X,Y)DX−−−−√DY−−−√ 有：

COV(X,Y)=2×1×0.6=1.2

根据方差的性质：

D(3X−2Y)=9DX−12COV(X,Y)+4DY=4×9−12×1.2+4×1=25.6

故选择：C.

解析

步骤 1：计算协方差 COV(X,Y)
根据相关系数的定义，有 ρXY = COV(X,Y) / (DX^(1/2) * DY^(1/2))。已知 ρXY = 0.6，DX = 4，DY = 1，代入公式计算 COV(X,Y)。
步骤 2：计算 D(3X−2Y)
根据方差的性质，D(aX + bY) = a^2 * DX + b^2 * DY + 2ab * COV(X,Y)，其中 a = 3，b = -2，代入已知值计算 D(3X−2Y)。