题目
7.设x1,x2,···,xn为一样本,总体的概率密度函数为-|||-(x;alpha )= ^3sqrt {pi )}(e)^dfrac ({x^2)({a)^2}}, xgeqslant 0 0, xlt 0 .-|||-试用最大似然法估计未知参数α.
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数是概率密度函数在给定样本值时的乘积。对于给定的样本$x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数$L(\alpha)$为：
$$L(\alpha) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \alpha) = \prod_{i=1}^{n} \frac{4x_i^2}{\alpha^3 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x_i^2}{\alpha^2}}$$
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数$\ln L(\alpha)$：
$$\ln L(\alpha) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{4x_i^2}{\alpha^3 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x_i^2}{\alpha^2}} \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( \ln 4 + 2\ln x_i - 3\ln \alpha - \frac{1}{2}\ln \pi - \frac{x_i^2}{\alpha^2} \right)$$
步骤 3：求对数似然函数的导数
为了找到对数似然函数的最大值，我们需要对$\alpha$求导，并令导数等于0。对$\ln L(\alpha)$求导，得到：
$$\frac{d}{d\alpha} \ln L(\alpha) = -\frac{3n}{\alpha} + \frac{2}{\alpha^3} \sum_{i=1}^{n} x_i^2$$
步骤 4：求解导数等于0的方程
令导数等于0，解出$\alpha$：
$$-\frac{3n}{\alpha} + \frac{2}{\alpha^3} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 0$$
$$\frac{2}{\alpha^3} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \frac{3n}{\alpha}$$
$$\alpha^2 = \frac{2}{3n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2$$
$$\alpha = \sqrt{\frac{2}{3n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2}$$
似然函数是概率密度函数在给定样本值时的乘积。对于给定的样本$x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数$L(\alpha)$为：
$$L(\alpha) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \alpha) = \prod_{i=1}^{n} \frac{4x_i^2}{\alpha^3 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x_i^2}{\alpha^2}}$$
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数$\ln L(\alpha)$：
$$\ln L(\alpha) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{4x_i^2}{\alpha^3 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x_i^2}{\alpha^2}} \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( \ln 4 + 2\ln x_i - 3\ln \alpha - \frac{1}{2}\ln \pi - \frac{x_i^2}{\alpha^2} \right)$$
步骤 3：求对数似然函数的导数
为了找到对数似然函数的最大值，我们需要对$\alpha$求导，并令导数等于0。对$\ln L(\alpha)$求导，得到：
$$\frac{d}{d\alpha} \ln L(\alpha) = -\frac{3n}{\alpha} + \frac{2}{\alpha^3} \sum_{i=1}^{n} x_i^2$$
步骤 4：求解导数等于0的方程
令导数等于0，解出$\alpha$：
$$-\frac{3n}{\alpha} + \frac{2}{\alpha^3} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 0$$
$$\frac{2}{\alpha^3} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \frac{3n}{\alpha}$$
$$\alpha^2 = \frac{2}{3n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2$$
$$\alpha = \sqrt{\frac{2}{3n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2}$$