题目
据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机抽取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.
据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机抽取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.
题目解答
答案
解:设每只元件的寿命为Xi(i=1,2,…,16),则由题意知E(Xi)==100,D(Xi)==1002根据独立同分布的中心极限定理,有(n=16)近似服从N(0,1),记,于是P{X>1920}=P=1–P≈1–(0.8)=1–0.7881=0.2119。
解析
步骤 1：定义随机变量
设每只元件的寿命为 \(X_i\)（\(i=1,2,\ldots,16\)），则由题意知 \(X_i\) 服从均值为 100 小时的指数分布。指数分布的均值为 \(\lambda^{-1}\)，因此 \(\lambda = \frac{1}{100}\)。
步骤 2：计算期望和方差
由于 \(X_i\) 服从指数分布，其期望 \(E(X_i) = 100\)，方差 \(D(X_i) = 100^2\)。
步骤 3：应用中心极限定理
根据独立同分布的中心极限定理，当样本量 \(n\) 足够大时，样本均值的分布近似服从正态分布。这里 \(n=16\)，虽然不是特别大，但可以近似使用中心极限定理。设 \(X\) 为 16 只元件寿命的总和，则 \(X = \sum_{i=1}^{16} X_i\)。根据中心极限定理，\(X\) 近似服从正态分布 \(N(16 \times 100, 16 \times 100^2)\)。
步骤 4：计算概率
我们需要计算 \(P(X > 1920)\)。首先标准化 \(X\)，得到 \(Z = \frac{X - 1600}{100 \sqrt{16}} = \frac{X - 1600}{400}\)。因此，\(P(X > 1920) = P(Z > \frac{1920 - 1600}{400}) = P(Z > 0.8)\)。查标准正态分布表，得到 \(P(Z > 0.8) = 1 - P(Z \leq 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119\)。
设每只元件的寿命为 \(X_i\)（\(i=1,2,\ldots,16\)），则由题意知 \(X_i\) 服从均值为 100 小时的指数分布。指数分布的均值为 \(\lambda^{-1}\)，因此 \(\lambda = \frac{1}{100}\)。
步骤 2：计算期望和方差
由于 \(X_i\) 服从指数分布，其期望 \(E(X_i) = 100\)，方差 \(D(X_i) = 100^2\)。
步骤 3：应用中心极限定理
根据独立同分布的中心极限定理，当样本量 \(n\) 足够大时，样本均值的分布近似服从正态分布。这里 \(n=16\)，虽然不是特别大，但可以近似使用中心极限定理。设 \(X\) 为 16 只元件寿命的总和，则 \(X = \sum_{i=1}^{16} X_i\)。根据中心极限定理，\(X\) 近似服从正态分布 \(N(16 \times 100, 16 \times 100^2)\)。
步骤 4：计算概率
我们需要计算 \(P(X > 1920)\)。首先标准化 \(X\)，得到 \(Z = \frac{X - 1600}{100 \sqrt{16}} = \frac{X - 1600}{400}\)。因此，\(P(X > 1920) = P(Z > \frac{1920 - 1600}{400}) = P(Z > 0.8)\)。查标准正态分布表，得到 \(P(Z > 0.8) = 1 - P(Z \leq 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119\)。