题目
5.判断题（2分）设总体X的概率密度为f(x)=}1,theta-(1)/(2)leq xleqtheta+(1)/(2)0,其他+(1)/(2)之间的任何点均为θ的极大似然估计值A 对B 错
5.判断题（2分）
设总体X的概率密度为f(x)=\begin{cases}1,\theta-\frac{1}{2}\leq x\leq\theta+\frac{1}{2}\\0,其他\end{cases}$(x_{1},\cdots,x_{n})是从总体X中抽取的样本，则介于$x_{i}-\frac{1}{2}$与$x_{i}+\frac{1}{2}$之间的任何点均为θ的极大似然估计值
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断给定的陈述是否正确，我们需要理解给定总体的极大似然估计（MLE）的概念。总体 $X$ 的概率密度函数（pdf）由下式给出：
\[ f(x) = \begin{cases}
1, & \text{如果 } \theta - \frac{1}{2} \leq x \leq \theta + \frac{1}{2} \\
0, & \text{其他情况}
\end{cases} \]
设 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 是从总体 $X$ 中抽取的样本。似然函数 $L(\theta)$ 是在给定 $\theta$ 的情况下观察到样本数据的概率，即各个密度的乘积：
\[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \begin{cases}
1, & \text{如果 } \theta - \frac{1}{2} \leq x_i \leq \theta + \frac{1}{2} \text{ 对于所有 } i \\
0, & \text{其他情况}
\end{cases} \]
为了使似然函数 $L(\theta)$ 等于1，每个 $x_i$ 必须位于区间 $[\theta - \frac{1}{2}, \theta + \frac{1}{2}]$ 内。这等价于：
\[ \theta - \frac{1}{2} \leq x_{(1)} \quad \text{和} \quad \theta + \frac{1}{2} \geq x_{(n)} \]
其中 $x_{(1)} = \min(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 和 $x_{(n)} = \max(x_1, x_2, \ldots, x_n)$。重新排列这些不等式，我们得到：
\[ x_{(n)} - \frac{1}{2} \leq \theta \leq x_{(1)} + \frac{1}{2} \]
因此，$\theta$ 的极大似然估计值是区间 $[x_{(n)} - \frac{1}{2}, x_{(1)} + \frac{1}{2}]$ 中的任何点。然而，陈述称介于 $x_i - \frac{1}{2}$ 与 $x_i + \frac{1}{2}$ 之间的任何点均为 $\theta$ 的极大似然估计值。这并不一定正确，因为区间 $[x_{(n)} - \frac{1}{2}, x_{(1)} + \frac{1}{2}]$ 并不总是与任何单个区间 $[x_i - \frac{1}{2}, x_i + \frac{1}{2}]$ 相同。
例如，如果样本是 $x_1 = 0.3$，$x_2 = 0.7$，那么区间 $[x_{(n)} - \frac{1}{2}, x_{(1)} + \frac{1}{2}]$ 是 $[0.7 - \frac{1}{2}, 0.3 + \frac{1}{2}]$ = $[0.2, 0.8]$。点 0.9 位于区间 $[0.7, 1.2]$ 内，但不在区间 $[0.2, 0.8]$ 内，因此它不是 $\theta$ 的极大似然估计值。
因此，该陈述是错误的。正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
本题考查极大似然估计的概念及应用。解题的关键在于根据总体的概率密度函数构建似然函数，然后找出使似然函数取最大值时参数 $\theta$ 的取值范围，最后将其与题目所给的范围进行对比判断。
- 构建似然函数：
已知总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\begin{cases}1,\theta - \frac{1}{2} \leq x \leq \theta + \frac{1}{2}\\0,其他\end{cases}$，样本为 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$。
似然函数 $L(\theta)$ 是各个样本点概率密度的乘积，即 $L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_i)$。
当 $\theta - \frac{1}{2} \leq x_i \leq \theta + \frac{1}{2}$ 对所有 $i$ 都成立时，$f(x_i)=1$，此时 $L(\theta)=1$；否则 $L(\theta)=0$。
所以 $L(\theta)=\begin{cases}1, & \text{如果 } \theta - \frac{1}{2} \leq x_i \leq \theta + \frac{1}{2} \text{ 对于所有 } i \\ 0, & \text{其他情况}\end{cases}$。 - 确定 $\theta$ 的取值范围：
要使 $L(\theta)=1$，则每个 $x_i$ 都要满足 $\theta - \frac{1}{2} \leq x_i \leq \theta + \frac{1}{2}$。
因为 $x_{(1)} = \min(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，$x_{(n)} = \max(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，所以必然有 $\theta - \frac{1}{2} \leq x_{(1)}$ 且 $\theta + \frac{1}{2} \geq x_{(n)}$。
对这两个不等式进行移项可得：$x_{(n)} - \frac{1}{2} \leq \theta \leq x_{(1)} + \frac{1}{2}$。
这表明 $\theta$ 的极大似然估计值是区间 $[x_{(n)} - \frac{1}{2}, x_{(1)} + \frac{1}{2}]$ 中的任意一点。 - 对比判断：
题目中说介于 $x_i - \frac{1}{2}$ 与 $x_i + \frac{1}{2}$ 之间的任何点均为 $\theta$ 的极大似然估计值。
但区间 $[x_{(n)} - \frac{1}{2}, x_{(1)} + \frac{1}{2}]$ 并不总是与任何单个区间 $[x_i - \frac{1}{2}, x_i + \frac{1}{2}]$ 相同。
例如，若样本为 $x_1 = 0.3$，$x_2 = 0.7$，则 $x_{(1)} = 0.3$，$x_{(n)} = 0.7$，区间 $[x_{(n)} - \frac{1}{2}, x_{(1)} + \frac{1}{2}]$ 为 $[0.7 - \frac{1}{2}, 0.3 + \frac{1}{2}]=[0.2, 0.8]$。
而点 $0.9$ 位于区间 $[0.7 - \frac{1}{2}, 0.7 + \frac{1}{2}]=[0.2, 1.2]$ 内，但不在区间 $[0.2, 0.8]$ 内，所以它不是 $\theta$ 的极大似然估计值。
因此，该陈述是错误的。