题目

设随机变量X,Y相互独立，且E(X)与E(Y)存在，记U=max（X,Y),V=min(X,Y),则E(UV)等于( )(A)E(U)E(V)(B)E(X)E(Y)(C)E(U)E(Y)(D)E(X)E(V)

设随机变量X,Y相互独立，且E(X)与E(Y)存在，记U=max（X,Y),V=min(X,Y),则E(UV)等于( )

(A)E(U)E(V)

(B)E(X)E(Y)

(C)E(U)E(Y)

(D)E(X)E(V)

题目解答

答案

$U=max\left \{X,Y \right \}=\frac{1}{2} (X+Y+\mid X-Y\mid )$

$V=min\left \{X,Y \right \}=\frac{1}{2} (X+Y-\mid X-Y\mid )$

$E(UV)=E[\frac{1}{4} (X+Y+\mid X-Y\mid )(X+Y-\mid X-Y\mid )]$

$=\frac{1}{4}E[(X+Y)^{2}-\left | X-Y \right | ^{2} ]=\frac{1}{4}E(4XY)=E(XY)$

由于X与Y相互独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)，即E(UV)=E(X)E(Y)

故选B

解析

步骤 1：定义U和V
定义随机变量U和V，其中U=max(X,Y)表示X和Y中的较大值，V=min(X,Y)表示X和Y中的较小值。
步骤 2：计算E(UV)
由于U和V分别是X和Y中的最大值和最小值，因此UV=X*Y。因为X和Y相互独立，所以E(UV)=E(XY)。
步骤 3：利用独立性
由于X和Y相互独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)。