题目
1.设X_(1),X_(2),...,X_(n)是总体Xsim N(mu,sigma^2)的样本，overline(X),S^2分别是样本均值和样本方差，则(overline(X)-mu)/(sigma/sqrt(n))服从____分布；((n-1)S^2)/(sigma^2)服从自由度为____的____分布；(overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))服从自由度为____的____分布.
1.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$\overline{X},S^{2}$分别是样本均值和样本方差，则$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$服从____分布；$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$服从自由度为____的____分布；$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$服从自由度为____的____分布.
题目解答
答案
1. **标准正态分布**
$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 服从 $N(0, 1)$，因为 $\overline{X}$ 服从 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化后得标准正态分布。
2. **卡方分布**
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布，由正态总体样本方差性质可知。
3. **t 分布**
$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，因分子为标准正态变量，分母为卡方变量除以自由度的平方根，符合 $t$ 分布定义。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & N(0, 1) \\
2. & n-1, \chi^2 \\
3. & n-1, t \\
\end{array}
}
\]
解析
本题考查正态总体样本函数的分布，涉及三个重要分布：标准正态分布、卡方分布和t分布。解题核心在于：
- 样本均值的标准化：正态总体的样本均值$\overline{X}$仍服从正态分布，标准化后得到标准正态分布；
- 样本方差的性质：$(n-1)S^2/\sigma^2$服从自由度为$n-1$的卡方分布；
- t分布的构造：分子为标准正态变量，分母为卡方变量的平方根形式，且两者独立。
第一空：$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$的分布
- 样本均值的分布：
$X_1, X_2, \cdots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。 - 标准化过程：
将$\overline{X}$标准化，即$\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，结果服从$N(0,1)$。
第二空：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$的分布
- 样本方差的定义：
$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$。 - 卡方分布性质：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma}\right)^2$服从自由度为$n-1$的$\chi^2$分布。
第三空：$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$的分布
- 分子与分母的关系：
- 分子$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$；
- 分母$\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} / (n-1)} = \frac{S}{\sqrt{n}}$。
- t分布的构造：
分子为标准正态变量，分母为独立的卡方变量的平方根形式，故$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。