2.1 某厂生产一种元件，其直径X（单位：cm）服从正态分布N(3,0.1^2)，现改换一种新工艺生产该元件，从新工艺生产的元件中随机抽取25个，测得样本均值overline(x)=3.15，试判断用新工艺生产后，元件平均直径是否较以前有显著变化。（alpha=0.05,u_(0.025)=1.96）

考查要点：本题主要考查假设检验的基本应用，特别是均值的双侧Z检验。需要明确检验类型、计算检验统计量，并根据临界值判断是否拒绝原假设。

解题核心思路：

1. 建立假设：根据题意，判断是否需要双侧检验（题目问“是否有显著变化”）。
2. 计算Z统计量：利用公式 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，注意总体方差已知。
3. 确定临界值：双侧检验时，临界值为 $\pm u_{\alpha/2}$。
4. 比较与结论：若 $|Z| > u_{\alpha/2}$，则拒绝原假设。

破题关键：

• 双侧检验的选择：题目未限定方向，需检验“变化”而非“增加/减少”。
• Z值计算的准确性：分母为标准误 $\sigma / \sqrt{n}$，分子为样本均值与原假设均值的差。

1. 建立假设

• 原假设 $H_0: \mu = 3$（新工艺未改变平均直径）。
• 备择假设 $H_1: \mu \neq 3$（新工艺改变了平均直径）。

2. 计算Z统计量

公式：
$Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{3.15 - 3}{0.1 / \sqrt{25}} = \frac{0.15}{0.02} = 7.5$

3. 确定临界值

双侧检验，$\alpha = 0.05$，临界值为 $\pm u_{0.025} = \pm 1.96$。

4. 比较与结论

• $|Z| = 7.5 > 1.96$，拒绝原假设。
• 结论：新工艺导致平均直径有显著变化。