题目

1.设E_(1)=[0,1]cap Q，求在R内的E_(1)^prime，hat(E_{1)}，overline(E_{1)}.2.设E_(2)=(x,y):x^2+y^2<1，求在R^2内的E_(2)^prime，hat(E_{2)}，overline(E_{2)}.3.设E_(3)是函数y=}sin(1)/(x),&(当)xneq0,0,&(当)x=0的图形上的点所组成的集合，求在R^2内的E_(3)^prime，hat(E_{3)}，overline(E_{3)}.

1.设$E_{1}=[0,1]\cap Q$，求在R内的$E_{1}^{\prime}$，$\hat{E_{1}}$，$\overline{E_{1}}$. 2.设$E_{2}=\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}<1\right\}$，求在$R^{2}$内的$E_{2}^{\prime}$，$\hat{E_{2}}$，$\overline{E_{2}}$. 3.设$E_{3}$是函数 $y=\begin{cases}\sin\frac{1}{x},&\text{当}x\neq0,\\0,&\text{当}x=0\end{cases}$ 的图形上的点所组成的集合，求在$R^{2}$内的$E_{3}^{\prime}$，$\hat{E_{3}}$，$\overline{E_{3}}$.

题目解答

答案

  1. $E_1 = [0,1] \cap \mathbb{Q}$

    • 导集 $E_1'$：$[0,1]$（有理数在实数中稠密）
    • 内点集 $\dot{E_1}$：$\emptyset$（任意点邻域含无理数）
    • 闭包 $\overline{E_1}$：$[0,1]$（包含 $E_1$ 的最小闭集）

  2. $E_2 = \{(x,y) : x^2 + y^2 < 1\}$

    • 导集 $E_2'$：$\{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}$
    • 内点集 $\dot{E_2}$：$\{(x,y) : x^2 + y^2 < 1\}$
    • 闭包 $\overline{E_2}$：$\{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}$

  3. $E_3$：函数 $y = \sin \frac{1}{x}$（$x \neq 0$）及点 $(0,0)$

    • 导集 $E_3'$：$\{(x,y) : y = \sin \frac{1}{x}, x \neq 0\} \cup \{(0,y) : -1 \leq y \leq 1\}$
    • 内点集 $\dot{E_3}$：$\emptyset$
    • 闭包 $\overline{E_3}$：$\{(x,y) : y = \sin \frac{1}{x}, x \neq 0\} \cup \{(0,y) : -1 \leq y \leq 1\}$

$\boxed{\begin{array}{ll}1. & E_1' = [0,1], \quad \dot{E_1} = \emptyset, \quad \overline{E_1} = [0,1] \\2. & E_2' = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}, \quad \dot{E_2} = \{(x,y) : x^2 + y^2 < 1\}, \quad \overline{E_2} = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\} \\3. & E_3' = \{(x,y) : y = \sin \frac{1}{x}, x \neq 0\} \cup \{(0,y) : -1 \leq y \leq 1\}, \quad \dot{E_3} = \emptyset, \quad \overline{E_3} = \{(x,y) : y = \sin \frac{1}{x}, x \neq 0\} \cup \{(0,y) : -1 \leq y \leq 1\}\end{array}}$